Interpolación

Interpolación.

Interpolación Concepto: En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.

La interpolación resolverá el problemas de hallar la expresión analítica de una función g(x) que sirva para aproximar a otra función f(x) para x en algún intervalo [a, b]. Problemas como este aparecen en la teoría y en la práctica con gran frecuencia; a veces porque no se conoce una expresión analítica para la función f(x), sino valores aislados f(x1), f(x2), ..., f(xn) de la misma y se necesita disponer de una expresión analítica que permita, aunque sea de manera aproximada, poder evaluar la función en otros valores de x; en otras ocasiones el algoritmo algebraico para calcular f(x), aunque se conoce, resulta tan complicado que se prefiere hallar una función g(x) de una clase más simple y utilizarla en lugar de f(x), aun sabiendo que se está incurriendo en un error.

Conceptos Básicos

En la imagen se muestra los distintos valores que toma una función, en el ejemplo sucede con el objetivo de encontrar una relación entre el peso y la talla de un determinado sector poblacional, se selecciona al azar una muestra de 100 individuos del grupo y se obtiene para cada persona i, su peso (pi) y su estatura (ti). Al representar estas mediciones en un sistema de ejes p-t, se obtiene un diagrama de puntos como el que se muestra en la figura. Se desea hallar una fórmula que permita establecer una relación entre el peso p y la talla t de los individuos del grupo.

Si se conocen los valores que toma la función f(x) en los n + 1 puntos diferentes x0, x1,..., xn, el problema de interpolación consiste en hallar una función g(x) cuyos valores puedan ser calculados para cualquier x en un intervalo que contiene a x0, x1,..., xn, de manera que:

g(x0) = f(x0)
g(x1) = f(x1)
g(xn) = f(xn)

Los números x0, x1,..., xn suelen llamarse puntos o nodo de interpolación. Si x no es un nodo de interpolación, al número real g(x) se le llama valor interpolado. Con frecuencia se utiliza la frase valor extrapolado para referirse a g(x) cuando x es mayor que el mayor nodo de interpolación o menor que el menor de ellos. La función g(x) se denomina función interpoladora y debe ser lo suficientemente simple como para que resulte fácil y rápido evaluarla en los puntos deseados; por esta razón, lo más usual es utilizar polinomios de grado pequeño con este fin.

Aproximación de funciones

A la diferencia entre la función interpolada y la interpoladora se le llama error de interpolación y se denota R(x), es decir:

R(x) = error(g(x)) = f(x) – g(x)

El error de interpolación depende de x; es cero si x es un nodo de interpolación y, por lo general, aumenta a medida que x está más distante de los nodos. En particular, el error de interpolación suele ser mucho mayor (en valor absoluto) en los casos de extrapolación que de interpolación.

Interpolación Polinomial

Cuando la función interpoladora es un polinomio, la interpolación se llama polinomial. Si se supone conocido el conjunto {x0, x1,..., xn} de nodos de interpolación, para los cuales se conocen las imágenes de la función f: yi = f(xi)
i = 0, 1, ..., n
existen tres problemas fundamentales relacionados con la interpolación polinómica: ¿Hay algún polinomio p(x) tal que p(xi) = yi para i = 0, 1, ..., n?

a) Existencia: b) Unicidad: Si tal polinomio existe, ¿será único? c) Construcción: Si existe el polinomio interpolador y es único, ¿cómo hallarlo?

Dados n + 1 nodos de interpolación diferentes: x0,x1,..., xn de una función f, entonces: Si m < n No puede asegurarse que en Pm exista algún polinomio que interpole la función. Si m > n En Pm exisplines cúbicossten infinitos polinomios que interpolan la función Si m = n Existe en Pm uno y solo un polinomio que interpola la función.

Splines

En términos muy generales, una función spline es una función polinomial por tramos que es continua y posee derivada continuas hasta un cierto orden. Además de las condiciones de continuidad y suavidad, el spline deberá satisfacer algunas otras condiciones adecuadas al problema que se desea resolver: pasar por un conjunto de puntos de la gráfica de f(x) (spline interpolador), aproximarse a un conjunto de puntos experimentales (spline de mejor ajuste), cumplir ciertos requerimientos estéticos y además en cuanto al valor en algunos puntos de control (problemas de diseño gráfico), etc. Para lograr todas estas condiciones, el spline contiene un conjunto de parámetros cuyos valores se escogen de forma que se satisfagan todas las condiciones deseadas. Para precisar ideas, supóngase un conjunto de n + 1 números ordenados en forma creciente {x0, x1, ..., xn} y que se utilicen polinomios de grado k, entonces el spline s(x) es una función de la forma:

donde pi(x) (i = 1, 2, ..., n) representa un polinomio de grado k. Como un polinomio de grado k posee k + 1 coeficientes, el spline en su conjunto posee n(k + 1) coeficientes y podrá satisfacer esa misma cantidad de condiciones siempre que las mismas no encierren contradicciones que las hagan incompatibles. El hecho de que s(x) debe ser continua en todos los nodos interiores {x1, x2, ..., xn–1} representan ya n – 1 condiciones. Para lograr que el spline posea además varias derivadas continuas es necesario tomar un grado k lo suficientemente elevado de manera que la cantidad de parámetros permita satisfacer todas las condiciones requeridas. Dado el interés limitado de este texto, aquí solo se considerará el spline como función de interpolación y formado por polinomios de grado menor o igual que 3, es decir, el spline cúbico interpolador.

Spline Cúbicos

Este tipo de interpolación que ha demostrado poseer una gran finura y que inclusive es usado para el diseño asistido por computadora, por ejemplo, de tipos de letra. Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar todos los datos, se pueden usar segmentos de polinomios entre pares coordenados de datos y unir cada uno de ellos adecuadamente para ajustar los datos. Vale la pena resaltar que entre todas las formas de ajustar datos, los splines cúbicos han resultado ser los más adecuados para cualquier tipo de aplicación. Así pues, se puede decir de manera informal, que una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad.

Para un conjunto numeroso de puntos no es muy útil calcular el polinomio interpolante que pasa por estos puntos, pues éste tiende a tener grandes oscilaciones. Más aconsejable es hacer una interpolación secuencial de grado bajo sobre subconjuntos más pequeños del total de puntos, definiendo así una función a trozos.

La interpolación a trozos más útil y de uso generalizado en diversos campos tales como el diseño, los gráficos por computadora, la economía, etc., es la que se realiza mediante polinomios de grado tres llamados trazadores o splines cúbicos que se definen en cada uno de los sub intervalos ( x k , x k +1 ) definidos por las abscisas de los puntos ( xi , y i ) a interpolar.

La idea es construir estos polinomios cúbicos de tal forma que cualesquiera dos de ellos definidos en intervalos contiguos ( xk −1 , xk ) y ( x k , x k +1 ) , ambos coincidan en xk no solo como función sino también en su primera y segunda derivada, con el fin de que haya suavidad en los puntos (xk,yk) de coincidencia de ambas gráficas. En cada sub intervalo (xi-1,xi). • s(x) tiene derivada continua hasta de orden k-1 en (xo,xn).

Aplicaciones

Ingeniería y Diseño (CAD/CAM, CNC’s)frecuencia Geología Aeronáutica y automoción Economía Procesamiento de señales e imágenes (Reconocimiento de patrones, recuperación de imágenes) Robótica Medicina (Aparatos auditivos, mapas cerebrales) Meteorología (Mapas climáticos, detección de inundaciones,...)

Fuentes

• Interpolación con trazadores o splines, Ing. Yamil Armando Cerquera Rojas¨
• Matemática Numérica, 2da Edición ¨Manuel Álvarez, Alfredo Guerra, Rogelio Lau¨
• La interpolación lineal
• Interpolación
• La interpolación(PDF)
• La interpolación en Excell
• La interpolación de una tabla de excell
• Interpolación