Métrica esférica

Métrica esférica Concepto: Norma característica de un tipo de geometría que determina cuán lejos estan dos puntos sobre la superficie de una esfera.

Métrica esférica. En Matemáticas, Álgebra, Geometría y más específicamente, Espacio métrico, Geometría análitica y Topología, se trata de la regla conceptual y de cálculo usada para determinar la distancia entre dos puntos dispuestos sobre la superficie de una esfera, sustituyendo la idea cartesiana de la recta por el arco de la línea geodésica que une a los puntos en cuestión.

Este tipo de métrica es de gran utilidad práctica, pues los planetas y estrellas suelen tener forma esférica, por lo que la determinación de distancias más realistas sobre sus superficies puede resolverse mediante la métrica esférica.

Definiciones.

Sea una esfera sólida de centro O y radio r como se muestra en la figura siguiente:

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y dos puntos A=(x₀;y₀) y B=(x₁;y₁) localizados sobre la superficie de la esfera, donde x_i, y_i son coordenadas esféricas definidas como las amplitudes de los ángulos de longitud y latitud respectivamente.

Se define por métrica o distancia esférica al menor arco de circunferencia concéntrica en O y con radio máximo que une a los puntos A y B, arco llamado ortodroma o ortodrómica.

Cálculo de distancia esférica.

Sea la esfera de centro en el origen de coordenadas O y radio r y dos puntos superficiales y donde son las longitudes de sus respectivos puntos respecto al eje x; son las latitudes correspondientes de A y B.

Traducidos a coordenadas euclideanas en el espacio los puntos y ; puede calcularse la longitud de la cuerda relativa a la ortodrómica que ambos conforman:

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Luego la amplitud del arco correspondiente a ese segmento es:

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Asumiendo que la función arcoseno devuelve la amplitud del ángulo en radianes.

Uniendo todo, la expresión completa de la distancia esférica entre dos puntos dadas sus coordenadas esféricas queda:

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Importancia.

Además del evidente resultado de la determinación de la longitud mínima entre dos puntos, dadas sus coordenadas esféricas, que aporta un mejor factor de realismo en geometrías y entes de la realidad que tengan forma esférica como planetas, satélites y estrellas; amplía el concepto de las distancias a otros terrenos más familiares y naturales, con límites y características propias.

Es evidente que los axiomas que debe satisfacer toda métrica son resueltos en la formulación conceptual y su cálculo en la métrica esférica.

Pero también presenta límites en el caso mismo de origen: nuestra Tierra. La geografía de nuestro planeta no es precisamente plana "a nivel del mar". Elevaciones, depresiones y otros accidentes le aportan una nueva variación a las coordenadas esféricas: la altitud y ésta, altera los valores calculados por la distancia esférica convencional, pues no es la misma longitud la que se recorre sobre dos puntos del océano y dos a la misma distancia esférica sobre terreno accidentado; siendo en el caso final, más largo el tramo recorrido sobre el relieve.

Veáse también.

• Métrica.
• Métrica euclideana.
• Línea geodésica.
• Coordenada esférica.

Fuentes.

1. I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. Editorial MIR, Moscú. 1973.
2. Colectivo de autores. Matemática 11no grado. Editorial Pueblo y Educación, La Habana. 1989.
3. Distancia en Wikipedia. Revisado 29 de marzo de 2012.