Diferencia entre revisiones de «Número complejo»
(→Relación de los complejos con otros conjuntos numéricos.) |
(→Definición.) |
||
| Línea 12: | Línea 12: | ||
La insuficiencia antes planteada ha obligado a los matemáticos a inventar un número ''i'', con la propiedad de que ''i<sup>2</sup> + 1 =0'', la admisión de este número dentro de la gran familia de los [[número]]s ha simplificado considerablemente los cálculos algebraicos. | La insuficiencia antes planteada ha obligado a los matemáticos a inventar un número ''i'', con la propiedad de que ''i<sup>2</sup> + 1 =0'', la admisión de este número dentro de la gran familia de los [[número]]s ha simplificado considerablemente los cálculos algebraicos. | ||
| + | |||
| + | Cada número complejo puede ser escrito únicamente como una suma de un número real y un [[Números imaginarios|número imaginario]]. | ||
== Representaciones de números complejos. == | == Representaciones de números complejos. == | ||
| Línea 118: | Línea 120: | ||
El conjunto de los números complejos es la supérclase de todos los [[Conjunto|conjuntos numéricos]], pues es la unión de los [[Número real|reales]] más los imaginarios. De esa forma quedan incluidas todas las operaciones en este conjunto. | El conjunto de los números complejos es la supérclase de todos los [[Conjunto|conjuntos numéricos]], pues es la unión de los [[Número real|reales]] más los imaginarios. De esa forma quedan incluidas todas las operaciones en este conjunto. | ||
| − | |||
| − | |||
[[Archivo:Conjuntos-numericos-vern.png]] | [[Archivo:Conjuntos-numericos-vern.png]] | ||
Revisión del 12:45 2 jul 2014
| ||||
Números complejos. Conjunto numérico surgido para resolver soluciones de raíces negativas.
Sumario
Definición.
Los números reales, a pesar de su utilidad y universalidad presentan la gran deficiencia de que: no toda función polinómica tiene una raíz real.
Un singular y notable ejemplo es la ecuación de segundo grado x2 + 1=0, de donde se obtiene que x2 = -1. Pero según las reglas del álgebra ningún número positivo o negativo elevado al cuadrado puede dar -1, es decir no existe ningún número x que satisfaga la ecuación del anterior ejemplo.
La insuficiencia antes planteada ha obligado a los matemáticos a inventar un número i, con la propiedad de que i2 + 1 =0, la admisión de este número dentro de la gran familia de los números ha simplificado considerablemente los cálculos algebraicos.
Cada número complejo puede ser escrito únicamente como una suma de un número real y un número imaginario.
Representaciones de números complejos.
Los números complejos tienen varias formas de representación. A saber:
- Representación puntual.
- Representación algebraica.
- Representación trigonométrica.
- Representación exponencial.
Representación puntual.
Se representa el número z como un punto del plano en coordenadas cartesianas (x, y), donde x es la parte real y y el componente imaginario.
Nótese que otras formas de representacion del punto en el plano, como las coordenadas polares no se incluyen en esta forma de representación puntal del número complejo.
Representación algebraica.
El número complejo z se representa por una expresión algebraica x+yi, donde x es la parte real y y el componente imaginario.
Representación trigonométrica.
La representación trigonométrica de un número complejo se basa en la representación de un punto por coordenadas polares (a, b) donde a es la longitud del radio vector hasta el punto en cuestión y b el ángulo respecto a eje de las X.
Luego puede representarse al número complejo z = x + yi como z = a cos(b) + a isen(b) donde las representaciones se relacionan de la siguiente manera:
Representación exponencial.
De la misma representacion polar puede extraerse la representación exponencial como sigue:
Donde a y b son los que se definieron en el epígrafe anterior, mientras k es un entero cualquiera.
Aritmética de los números complejos
Los números complejos soportan las operaciones aritméticas elementales:
- Adición.
- Sustracción.
- Multiplicación.
- División.
Adición
Sean los números complejos z1 y z2, definidos en notación algebraica como:
- z1=x1+y1i
- z2=x2+y2i
la suma de ambos vendrá dada por el resultado:
- z3=z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2).
Desde el punto de vista de la notación como punto del plano cartesiano, la suma de dos complejos:
(x1,y1)+(x2,y2)
significa un corrimiento a las nuevas coordenadas:
(x1+x2, y1+y2)
Sustracción
Sean los números complejos z1 y z2, definidos en notación algebraica como:
- z1=x1+y1i
- z2=x2+y2i
la resta de ambos vendrá dada por el resultado:
- z3=z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2).
Multiplicación
Sean los números complejos z1 y z2, definidos en notación algebraica como:
- z1=x1+y1i
- z2=x2+y2i
el producto de ambos vendrá dada por el resultado:
z3=z1z2
=(x1+y1i)(x2+y2i)
=x1x2+ix1y2+ix2y1-y1y2
- z3=z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1)
División
Para realizar la división entre números complejos primero debe conocerse la conjungada de números complejos.
Conjugada
Sea el número complejo z1:
- z1=x1+y1i
su conjugada viene dado por:
=x1-y1i
y se denota 
.
Definición de la operación de división entre números complejos
Sean dos números complejos z1 y z2, la división entre ellos se define por la expresión:
Relación de los complejos con otros conjuntos numéricos.
El conjunto de los números complejos es la supérclase de todos los conjuntos numéricos, pues es la unión de los reales más los imaginarios. De esa forma quedan incluidas todas las operaciones en este conjunto.
Archivo:Conjuntos-numericos-vern.png
Fuentes.
- Michael Spivak. Cálculo infinitesimal.
- P. E. Danko, A. G. Popov y T. YA. Kozhenikova. Matemática superiores en ejercicios y problemas.
