Diferencia entre revisiones de «Razones y proporciones»

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''' Razones y proporciones''': Cuando son comparados dos [[Números|números]] mediante una [[División|división]] diremos que esos dos números se encuentran en una razón; y si igualamos dos razones estamos en precedencia de una proporción.  
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''' Razones y proporciones''': Cuando son comparados dos [[Números|números]] mediante una [[División|división]] diremos que esos dos números se encuentran en una razón; y si igualamos dos razones estamos en presencia de una proporción.  
 
==Razón entre números==  
 
==Razón entre números==  
 
Al realizar una encuesta entre los jóvenes entre 18 y 21 años se concluye que: "1 de cada 5 jóvenes está inscrito en el [[Registro Electoral]]". Entonces, se puede decir que la razón entre los que votan y el total de jóvenes es 1: 5. También se puede decir que la razón entre los que votan y los que no, es 1: 4.
 
Al realizar una encuesta entre los jóvenes entre 18 y 21 años se concluye que: "1 de cada 5 jóvenes está inscrito en el [[Registro Electoral]]". Entonces, se puede decir que la razón entre los que votan y el total de jóvenes es 1: 5. También se puede decir que la razón entre los que votan y los que no, es 1: 4.
Sean a y b dos números racionales y b ‡ 0, entonces una razón entre a y b es el cociente a: b = a/b y lo leeremos a es a b.
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Sean '''a''' y '''b''' dos números racionales y '''b''' ‡ 0, entonces una razón entre '''a''' y '''b''' es el cociente '''a: b''' = '''a/b''' y lo leeremos '''a''' es a '''b'''.
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Como las razones son números racionales, entonces se puede ampliarla y simplificarla como se desee mientras se mantenga la razón.
 
Como las razones son números racionales, entonces se puede ampliarla y simplificarla como se desee mientras se mantenga la razón.
 
[[Image:Raz Ej 1.JPG]]
 
[[Image:Raz Ej 1.JPG]]
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Una de las situaciones matemáticas más frecuente es sin duda, la de relacionar dos cantidades: se han hecho al sumarlas y restarlas, o al multiplicarlas y dividirlas. En particular, al relacionarlas mediante la resta y la división, estamos comparándolas. Existen dos tipos de comparaciones entre números: las que nos permiten averiguar cuál es el mayor calculando la diferencia existente entre ambos, o bien, calculando cuántas veces el mayor contiene al menor. En la primera situación hablamos de comparaciones o relaciones aditivas y en la segunda, de relaciones multiplicativas.
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==El concepto matemático de razón==
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Una razón es una relación multiplicativa entre dos números naturales diferentes de 0.
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Hablamos así de la razón “dos a tres”,“1 a 10”, “7 a 4”, etc. Por ejemplo, si en un grupo de personas hay 18 hombres y 27 mujeres, diremos que la razón entre el número de hombres y el de mujeres es de “2 a 3”, es decir, que “hay 2 hombres por cada 3 mujeres”. En este caso, la razón entre el número de mujeres y el de hombres es la inversa, de “3 a 2”, es decir, que “hay 3 mujeres por cada 2 hombres”.
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Hay que saber distinguir entre los conceptos de razón y de fracción. Este último alude a la relación también multiplicativa entre la parte y el todo respectivo. En el ejemplo anterior, 2/5 representa la fracción ya simplificada correspondiente al número de hombres (18) con respecto al total de personas presentes (18 + 27 = 45). En el concepto de razón no está presente esta relación de carácter parte-todo.
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==Proporciones==
 
==Proporciones==
 
La igualdad entre dos razones es una proporción.
 
La igualdad entre dos razones es una proporción.
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Se lee:  
 
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*a es a b como c es a d.
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*'''a''' es a '''b''' como '''c''' es a '''d'''.
*También puede escribirse a: b = c: d  
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*También puede escribirse '''a: b''' = '''c: d'''
 
*En toda proporción se tiene:
 
*En toda proporción se tiene:
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[[Image:Terminos proporc.JPG]]
 
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En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios, esta relación se conoce como Teorema fundamental de la proporción, es decir.  
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En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios, esta relación se conoce como Teorema fundamental de la proporción, es decir.
 
   
 
   
 
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Un ejemplo de proporción es 2/3 = 4/6, cuya lectura es “2 es a 3 como 4 es a 6”. De nuevo hay que recordar la distinción entre razones y fracciones, para no ver en la expresión anterior “la equivalencia de dos fracciones” (que será la lectura correcta cuando se hable de fracciones, pero no ahora...).
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Vamos con la nomenclatura relativa a las proporciones. El uso de la notación a : b : :c : d nos ayuda a identificar a los números a y d como los extremos de la proporción y a los números b y c como los medios de la proporción. Por ejemplo, en 2/3 = 4/6, 2 y 6 son los extremos de la proporción, y 3 y 4, los medios.
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Una proporción cuyos extremos y medios son diferentes se denomina discreta; por ejemplo, la anterior. Y continua, si los medios(o los extremos) son iguales entre sí; su forma sería: a/b = b/c ó a/b = c/a. Por ejemplo, 2/6 =6/18. En una proporción discreta, cualquier término se denomina cuarta proporcional de los otros tres. Así, en el ejemplo 2/3 = 4/6 decimos que 3 es cuarta proporcional de 2,4 y 6, ó que 4 lo es de 2, 3 y 6. En una proporción continua, el término repetido se denomina media proporcional de los otros dos, y estos dos últimos, tercia proporcional del otro término. Así, en el ejemplo 2/6 = 6/18, 6 es media proporcional de 2 y 18, y 2 y 18 son tercias proporcionales de 6.
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Las proporciones presentan numerosas propiedades, que ya fueron estudiadas por los griegos y aparecen en el Libro V de los Elementos de Euclides. Esta es la fundamental:
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1.En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos:
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  a/b = c/d                    a *d = b*c
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De aquí se desprende que un extremo es igual al producto de los medios dividiendo entre el otro extremo, y que un medio es igual al producto de los extremos dividiendo entre el otro medio:
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a = (b*c)/d      b = (a*d)/c      c = (a*d)/b      d = (b*c)/a
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La comprobación de estas igualdades es muy fácil; puede verificarse con cualquiera de los ejemplos anteriores. Pero lo interesante es “saber ver proporciones” en todo producto de la forma a x d = b x c, o en toda expresión que pueda reducirse a ella.
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2. De toda proporción    a/b = c/d, o de su expresión equivalente a*d =b*c, pueden derivarse otras tres proporciones diferentes:
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a/c = b/d      b/a = d/c        c/a = d/b
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==Algunas situaciones particulares referidas a razones y proporciones==
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'''Las escalas'''
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Las escalas aluden al conocido problema de representar algún objeto o parte de la realidad en un mapa, plano o dibujo, sin distorsionar las relaciones que guardan entre sí los elementos que componen la realidad que se representa. Cuando esta transformación se hace correctamente, se dice que el dibujo, mapa o plano está “hecho a escala” (las fotografías y las fotocopias reducidas o ampliadas son ejemplos de reproducciones automáticas a escala).Hacerlo correctamente significa que se conservan, en el papel, las relaciones multiplicativas presentes en el objeto. Así, si un elemento A de la realidad mide la mitad de otro B, esa misma relación multiplicativa debe mantenerse en el papel. Indudablemente, estamos hablando de razones. Para conseguir una representación válida resulta clave hallar la escala o razón que existe entre la longitud de un determinado segmento del dibujo, plano o mapa, y la longitud del segmento correspondiente en la realidad representada.
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Por ejemplo, si se dibuja el plano de una vivienda de tal modo que una distancia real de 10 metros se reduce a 2,5 cm en el plano, la escala utilizada es 2,5 cm : 10 m = 25 mm :10.000 mm = 1 : 400 (habitualmente, el primer término de la escala suele ser 1). Esto significa que cualquier medida sobre el plano debe multiplicarse por 400 en la realidad, y que cualquier medida en la realidad debe dividirse entre 400 para dibujarla en el plano.
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'''Los repartos proporcionales'''
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Se trata del tipo de situación en la que hay que repartir una cantidad de alguna magnitud entre diversos sujetos, de acuerdo con ciertas razones establecidas entre éstos. Por ejemplo, si se desea repartir una ganancia de 120.000 pesos entre dos socios cuyos aportes al capital están en razón de 3 a 5, la situación puede resolverse mediante la proporción siguiente: si y y z representan, respectivamente, las cantidades a percibir por cada socio, tenemos: y/z = 3/5, con el dato adicional: y + z = 120.000. Haciendo uso de la propiedad 5 de las proporciones:
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Si  a/b =  c/d , entonces      (a+b)/b  =  (c+d)/d  y    (a+b)/a =  (c+d)/d       
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Cuando se trata de repartir proporcionalmente una cantidad N entre dos elementos que se hallan en una razón a/b, la cantidad percibida por el primer elemento es:  (N*a)/(a+b)  ; y la percibida por el segundo es: (N*b)/(a+b)  .Este proceso puede generalizarse al caso en que haya más de dos elementos en el reparto proporcional.
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==Proporcionalidad Directa==
 
==Proporcionalidad Directa==
 
Supongamos que vamos por la carretera en un automóvil hacia una ciudad A, a una [[Física|velocidad]] de 120 Km./h. Se puede reconocer 2 variables asociadas a esto: la distancia y el tiempo. Mientras más tiempo haya transcurrido, más distancia habremos recorrido, es decir, a medida que aumenta el tiempo, aumenta la distancia. De la misma manera, el tiempo que falta para llegar disminuye a medida que disminuye la distancia entre nosotros y la ciudad A.
 
Supongamos que vamos por la carretera en un automóvil hacia una ciudad A, a una [[Física|velocidad]] de 120 Km./h. Se puede reconocer 2 variables asociadas a esto: la distancia y el tiempo. Mientras más tiempo haya transcurrido, más distancia habremos recorrido, es decir, a medida que aumenta el tiempo, aumenta la distancia. De la misma manera, el tiempo que falta para llegar disminuye a medida que disminuye la distancia entre nosotros y la ciudad A.
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Esta relación se conoce como proporcionalidad directa, si una [[Expresiones algebraicas|variable]] aumenta (disminuye), entonces la otra variable también aumenta (disminuye) en la misma proporción  
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Esta relación se conoce como [[Proporcionalidad|proporcionalidad]] directa, si una [[Variables|variable]] aumenta o disminuye, entonces la otra variable también aumentará o disminuirá en la misma proporción.
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La clave de una proporcionalidad directa, es que la razón entre ambas variables se mantenga constante. Este valor que se mantiene igual, independiente de como cambien las variables, se conoce como constante de proporcionalidad. En el ejemplo del viaje, la constante es igual a 120.
 
La clave de una proporcionalidad directa, es que la razón entre ambas variables se mantenga constante. Este valor que se mantiene igual, independiente de como cambien las variables, se conoce como constante de proporcionalidad. En el ejemplo del viaje, la constante es igual a 120.
 
   
 
   
 
Para analizar la dicha proporcionalidad se lleva a una tabla las correspondientes variables, si en la medida que aumenta (disminuye) una variable la otra aumenta (disminuye) estamos en presencia de una proporcionalidad directa.
 
Para analizar la dicha proporcionalidad se lleva a una tabla las correspondientes variables, si en la medida que aumenta (disminuye) una variable la otra aumenta (disminuye) estamos en presencia de una proporcionalidad directa.
En el ejemplo anterior, las variables distancia recorrida y el tiempo recorrido lo se lleva  a una tabla y se observa que en la medida que aumenta la distancia recorrida aumenta el tiempo.
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[[Image:Tabla p directa.JPG]]
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En el ejemplo anterior, las variables distancia recorrida y el tiempo recorrido se lleva  a una tabla y se observa que en la medida que aumenta la distancia recorrida aumenta el tiempo.
 
   
 
   
 
El gráfico que representa a una proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el origen.
 
El gráfico que representa a una proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el origen.
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[[Image:Prop directa.JPG]]
 
[[Image:Prop directa.JPG]]
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==Proporcionalidad directa entre dos magnitudes==
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En los ejemplos relativos al caso de las escalas, veíamos que se relacionaban dos conjuntos: el de los tamaños de los objetos reales y el de los tamaños de los dibujos a escala. Esa forma de relacionarse es muy peculiar: si se toma un par de valores correspondientes, uno de cada conjunto, se establece entre ellos una razón: justamente, la de la escala. Y si se toma otro par de valores correspondientes, vemos que la razón entre ellos es la misma. Y así con todos los pares de valores correspondientes que se puedan componer.
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Podemos referirnos a ambos conjuntos como magnitudes, es decir, como entidades medibles; y a los valores que pueden tomar sus elementos (es decir, los tamaños de los objetos reales y de los dibujos), como medidas. Lo importante para estas dos magnitudes es lo que decíamos ahora, que si tomamos dos pares cualesquiera de valores relacionados, uno de cada magnitud, siempre formarán una proporción (verifíquelo con valores del primer ejemplo de las escalas).
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De aquí que podamos decir que estas dos magnitudes están relacionadas proporcionalmente. Más precisamente, que las dos magnitudes están en una relación de proporcionalidad directa, es decir, que si los valores de una de ellas se multiplican o dividen por un número, los de la otra quedan multiplicados o divididos por el mismo número. El vínculo de la relación es, justamente, la razón que liga a los dos valores de cada par relacionado.
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Hay muchas situaciones en la matemática, en otras ciencias, en la vida diaria en las que se presentan pares de magnitudes relacionadas proporcionalmente de una manera directa.
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'''Son ejemplos de estos pares de magnitudes:'''
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* El número de objetos (o kilos, litros, etc.) que se compran y el precio a pagar
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* El número de manos (normales) y el número de dedos presentes
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* A una velocidad constante, el tiempo transcurrido y la distancia recorrida
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* La masa y el peso de un objeto
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* En un cuadrado, la longitud de un lado y la medida del perímetro
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* El número de obreros y la cantidad de trabajo realizado
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* Trabajando a destajo, el número de horas trabajadas y el salario percibido
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* La participación en el capital y la participación en las ganancias
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* En un momento dado, las alturas de los objetos y las longitudes de las sombras que proyectan bajo el sol.
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* Las cantidades de los ingredientes de una receta y el número de comensales
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* La medida de ángulos a simple vista y a través de un lente de aumento.
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'''Representación de dos magnitudes ligadas mediante una relación de  proporcionalidad directa podemos hacerlo de varias formas:'''
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# Mediante una tabla de valores.
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# Mediante una expresión simbólica o fórmula.
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# Mediante una expresión verbal.
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'''La Regla de tres directa'''
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Para resolver, por ejemplo, la situación: “Si 2 lápices cuestan 4 pesos, ¿cuánto costarán 5 lápices?”, podemos proceder de varias maneras. Ante todo, necesitamos reconocer si la relación entre las magnitudes “número de lápices” y “costo a pagar” es de proporcionalidad directa (¿lo es?; ¿por qué?) A partir de aquí formamos la proporción entre dos pares de valores correspondientes lápices/pesos:
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2/4 =  5/z , De donde según la propiedad 1 de las proporciones, z = (4*5)/2    z = 10 pesos.
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También puede procederse así –a partir siempre del reconocimiento de la relación entre las dos magnitudes como de proporcionalidad directa: Percibimos que la razón entre valores correspondientes de ambas (la constante de proporcionalidad) es 2 (obtenida del par 4 : 2),con lo que establecemos la expresión simbólica de la relación: costo = 2 * No de lápices.
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De donde concluimos que el costo de los 5 lápices será: costo = 2 * 5 = 10 pesos.
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Estos procedimientos pueden plasmarse en lo que se reconoce tradicionalmente como la técnica de la regla de tres directa, establecida para resolver situaciones como la anterior, en las que –al formarse una proporción con dos pares de valores correspondientes de dos magnitudes ligadas mediante una relación de proporcionalidad directa- de los cuatro valores implicados se conocen tres y se desconoce uno.
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==Proporcionalidad Inversa==
 
==Proporcionalidad Inversa==
 
Supongamos que queremos pintar una casa y para ello contratamos 2 obreros. Ellos estiman que podrán pintar la casa completamente en 6 días.
 
Supongamos que queremos pintar una casa y para ello contratamos 2 obreros. Ellos estiman que podrán pintar la casa completamente en 6 días.
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El gráfico que representa a una proporcionalidad inversa es una [[Hipérbola|hipérbola]]
 
El gráfico que representa a una proporcionalidad inversa es una [[Hipérbola|hipérbola]]
 
[[Image:Prop inversa.JPG]]
 
[[Image:Prop inversa.JPG]]
   
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En una proporcionalidad inversa la razón entre dos cantidades y el recíproco de la razón de sus correspondientes forman una proporción.
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Supongamos, por ejemplo, que varios vehículos recorren una distancia de 120 km y que cada vehículo viaja a una velocidad constante. Veamos una tabla de situaciones posibles:
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{| class="wikitable" border="1"
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|-
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! Velocidad (km/h)
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! Tiempo (h)
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|-
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| 30
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|  4
 +
|-
 +
| 40
 +
| 3
 +
|-
 +
|  80
 +
|  1 1/2
 +
|-
 +
| 100
 +
| 1 1/5
 +
|}
 +
 
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Evidentemente, las magnitudes velocidad y tiempo no están en una relación de proporcionalidad directa; por el contrario, al aumentar los valores de una, disminuyen los de la otra, y viceversa. En las situaciones de proporcionalidad directa, lo que se mantiene constante es la razón entre pares de valores correspondientes. Pero descubrimos que en las situaciones como las del ejemplo, lo que se mantiene constante es el producto entre pares de valores correspondientes:
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30 * 4= 40 * 3 = 80 * 1 1/2  = 100 * 1 1/5  = 120, siempre.
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Generalizando a cualquier situación en que se relacionan dos magnitudes, si cualquier par de valores correspondientes a y b, c y d (donde a y c son de la primera magnitud, y b y d de la segunda) verifican la igualdad: a*b= c *d, entonces decimos que las magnitudes se hallan en una relación de proporcionalidad inversa, o que son inversamente proporcionales.
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En resumen, si x e y son dos variables que se encuentran en
 
En resumen, si x e y son dos variables que se encuentran en
*Proporcionalidad Directa, entonces se cumple que
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*Proporcionalidad Directa, entonces se cumple que: Si una magnitud aumenta la otra también aumenta y si una disminuye la otra también disminuye.
[[Image:Relacion prop directa.JPG]]
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*Proporcionalidad Inversa, entonces se cumple que: Si una magnitud aumenta la otra disminuye y si una disminuye la otra aumenta.
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*Proporcionalidad Inversa, entonces se cumple que
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[[Image:Relacion prop inversa.JPG]]
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==La resolución de problemas en el campo de las razones y proporciones==
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Donde k es la constante de proporcionalidad respectiva.
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En el campo de las razones y de las proporciones, los problemas pueden referirse a la utilización de los conceptos, de sus propiedades y de sus diversas representaciones. También destacan las situaciones referidas a porcentajes, mezclas, reparto proporcional, regla de tres directa e inversa, escalas, y otras relacionadas con las fracciones. Todo ello en contextos simbólicos o de aplicación a la vida diaria.
+
 
 
==Fuentes==
 
==Fuentes==
 
*Libro de texto. Matemática 6to grado
 
*Libro de texto. Matemática 6to grado

última versión al 13:35 1 sep 2019

Razones y proporciones
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Raz y proporc principal.jpg
Concepto:Procedimientos matemáticos que permiten comparar números y magnitudes

Razones y proporciones: Cuando son comparados dos números mediante una división diremos que esos dos números se encuentran en una razón; y si igualamos dos razones estamos en presencia de una proporción.

Razón entre números

Al realizar una encuesta entre los jóvenes entre 18 y 21 años se concluye que: "1 de cada 5 jóvenes está inscrito en el Registro Electoral". Entonces, se puede decir que la razón entre los que votan y el total de jóvenes es 1: 5. También se puede decir que la razón entre los que votan y los que no, es 1: 4.

Sean a y b dos números racionales y b ‡ 0, entonces una razón entre a y b es el cociente a: b = a/b y lo leeremos a es a b.

Como las razones son números racionales, entonces se puede ampliarla y simplificarla como se desee mientras se mantenga la razón. Raz Ej 1.JPG

Una de las situaciones matemáticas más frecuente es sin duda, la de relacionar dos cantidades: se han hecho al sumarlas y restarlas, o al multiplicarlas y dividirlas. En particular, al relacionarlas mediante la resta y la división, estamos comparándolas. Existen dos tipos de comparaciones entre números: las que nos permiten averiguar cuál es el mayor calculando la diferencia existente entre ambos, o bien, calculando cuántas veces el mayor contiene al menor. En la primera situación hablamos de comparaciones o relaciones aditivas y en la segunda, de relaciones multiplicativas.

El concepto matemático de razón

Una razón es una relación multiplicativa entre dos números naturales diferentes de 0.

Hablamos así de la razón “dos a tres”,“1 a 10”, “7 a 4”, etc. Por ejemplo, si en un grupo de personas hay 18 hombres y 27 mujeres, diremos que la razón entre el número de hombres y el de mujeres es de “2 a 3”, es decir, que “hay 2 hombres por cada 3 mujeres”. En este caso, la razón entre el número de mujeres y el de hombres es la inversa, de “3 a 2”, es decir, que “hay 3 mujeres por cada 2 hombres”. Hay que saber distinguir entre los conceptos de razón y de fracción. Este último alude a la relación también multiplicativa entre la parte y el todo respectivo. En el ejemplo anterior, 2/5 representa la fracción ya simplificada correspondiente al número de hombres (18) con respecto al total de personas presentes (18 + 27 = 45). En el concepto de razón no está presente esta relación de carácter parte-todo.


Proporciones

La igualdad entre dos razones es una proporción.

Se lee:

  • a es a b como c es a d.
  • También puede escribirse a: b = c: d
  • En toda proporción se tiene:

Terminos proporc.JPG

En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios, esta relación se conoce como Teorema fundamental de la proporción, es decir.

Teorema propor.JPG

Un ejemplo de proporción es 2/3 = 4/6, cuya lectura es “2 es a 3 como 4 es a 6”. De nuevo hay que recordar la distinción entre razones y fracciones, para no ver en la expresión anterior “la equivalencia de dos fracciones” (que será la lectura correcta cuando se hable de fracciones, pero no ahora...).

Vamos con la nomenclatura relativa a las proporciones. El uso de la notación a : b : :c : d nos ayuda a identificar a los números a y d como los extremos de la proporción y a los números b y c como los medios de la proporción. Por ejemplo, en 2/3 = 4/6, 2 y 6 son los extremos de la proporción, y 3 y 4, los medios.

Una proporción cuyos extremos y medios son diferentes se denomina discreta; por ejemplo, la anterior. Y continua, si los medios(o los extremos) son iguales entre sí; su forma sería: a/b = b/c ó a/b = c/a. Por ejemplo, 2/6 =6/18. En una proporción discreta, cualquier término se denomina cuarta proporcional de los otros tres. Así, en el ejemplo 2/3 = 4/6 decimos que 3 es cuarta proporcional de 2,4 y 6, ó que 4 lo es de 2, 3 y 6. En una proporción continua, el término repetido se denomina media proporcional de los otros dos, y estos dos últimos, tercia proporcional del otro término. Así, en el ejemplo 2/6 = 6/18, 6 es media proporcional de 2 y 18, y 2 y 18 son tercias proporcionales de 6.

Las proporciones presentan numerosas propiedades, que ya fueron estudiadas por los griegos y aparecen en el Libro V de los Elementos de Euclides. Esta es la fundamental:

1.En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos:

a/b = c/d                    a *d = b*c

De aquí se desprende que un extremo es igual al producto de los medios dividiendo entre el otro extremo, y que un medio es igual al producto de los extremos dividiendo entre el otro medio:

a = (b*c)/d       b = (a*d)/c       c = (a*d)/b       d = (b*c)/a

La comprobación de estas igualdades es muy fácil; puede verificarse con cualquiera de los ejemplos anteriores. Pero lo interesante es “saber ver proporciones” en todo producto de la forma a x d = b x c, o en toda expresión que pueda reducirse a ella.

2. De toda proporción a/b = c/d, o de su expresión equivalente a*d =b*c, pueden derivarse otras tres proporciones diferentes:

a/c = b/d       b/a = d/c        c/a = d/b

Algunas situaciones particulares referidas a razones y proporciones

Las escalas

Las escalas aluden al conocido problema de representar algún objeto o parte de la realidad en un mapa, plano o dibujo, sin distorsionar las relaciones que guardan entre sí los elementos que componen la realidad que se representa. Cuando esta transformación se hace correctamente, se dice que el dibujo, mapa o plano está “hecho a escala” (las fotografías y las fotocopias reducidas o ampliadas son ejemplos de reproducciones automáticas a escala).Hacerlo correctamente significa que se conservan, en el papel, las relaciones multiplicativas presentes en el objeto. Así, si un elemento A de la realidad mide la mitad de otro B, esa misma relación multiplicativa debe mantenerse en el papel. Indudablemente, estamos hablando de razones. Para conseguir una representación válida resulta clave hallar la escala o razón que existe entre la longitud de un determinado segmento del dibujo, plano o mapa, y la longitud del segmento correspondiente en la realidad representada.

Por ejemplo, si se dibuja el plano de una vivienda de tal modo que una distancia real de 10 metros se reduce a 2,5 cm en el plano, la escala utilizada es 2,5 cm : 10 m = 25 mm :10.000 mm = 1 : 400 (habitualmente, el primer término de la escala suele ser 1). Esto significa que cualquier medida sobre el plano debe multiplicarse por 400 en la realidad, y que cualquier medida en la realidad debe dividirse entre 400 para dibujarla en el plano.

Los repartos proporcionales

Se trata del tipo de situación en la que hay que repartir una cantidad de alguna magnitud entre diversos sujetos, de acuerdo con ciertas razones establecidas entre éstos. Por ejemplo, si se desea repartir una ganancia de 120.000 pesos entre dos socios cuyos aportes al capital están en razón de 3 a 5, la situación puede resolverse mediante la proporción siguiente: si y y z representan, respectivamente, las cantidades a percibir por cada socio, tenemos: y/z = 3/5, con el dato adicional: y + z = 120.000. Haciendo uso de la propiedad 5 de las proporciones:

Si a/b = c/d , entonces (a+b)/b = (c+d)/d y (a+b)/a = (c+d)/d

Cuando se trata de repartir proporcionalmente una cantidad N entre dos elementos que se hallan en una razón a/b, la cantidad percibida por el primer elemento es: (N*a)/(a+b)  ; y la percibida por el segundo es: (N*b)/(a+b) .Este proceso puede generalizarse al caso en que haya más de dos elementos en el reparto proporcional.

Proporcionalidad Directa

Supongamos que vamos por la carretera en un automóvil hacia una ciudad A, a una velocidad de 120 Km./h. Se puede reconocer 2 variables asociadas a esto: la distancia y el tiempo. Mientras más tiempo haya transcurrido, más distancia habremos recorrido, es decir, a medida que aumenta el tiempo, aumenta la distancia. De la misma manera, el tiempo que falta para llegar disminuye a medida que disminuye la distancia entre nosotros y la ciudad A.

Esta relación se conoce como proporcionalidad directa, si una variable aumenta o disminuye, entonces la otra variable también aumentará o disminuirá en la misma proporción.

La clave de una proporcionalidad directa, es que la razón entre ambas variables se mantenga constante. Este valor que se mantiene igual, independiente de como cambien las variables, se conoce como constante de proporcionalidad. En el ejemplo del viaje, la constante es igual a 120.

Para analizar la dicha proporcionalidad se lleva a una tabla las correspondientes variables, si en la medida que aumenta (disminuye) una variable la otra aumenta (disminuye) estamos en presencia de una proporcionalidad directa.

En el ejemplo anterior, las variables distancia recorrida y el tiempo recorrido se lleva a una tabla y se observa que en la medida que aumenta la distancia recorrida aumenta el tiempo.

El gráfico que representa a una proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el origen.

Prop directa.JPG

Proporcionalidad directa entre dos magnitudes

En los ejemplos relativos al caso de las escalas, veíamos que se relacionaban dos conjuntos: el de los tamaños de los objetos reales y el de los tamaños de los dibujos a escala. Esa forma de relacionarse es muy peculiar: si se toma un par de valores correspondientes, uno de cada conjunto, se establece entre ellos una razón: justamente, la de la escala. Y si se toma otro par de valores correspondientes, vemos que la razón entre ellos es la misma. Y así con todos los pares de valores correspondientes que se puedan componer.

Podemos referirnos a ambos conjuntos como magnitudes, es decir, como entidades medibles; y a los valores que pueden tomar sus elementos (es decir, los tamaños de los objetos reales y de los dibujos), como medidas. Lo importante para estas dos magnitudes es lo que decíamos ahora, que si tomamos dos pares cualesquiera de valores relacionados, uno de cada magnitud, siempre formarán una proporción (verifíquelo con valores del primer ejemplo de las escalas). De aquí que podamos decir que estas dos magnitudes están relacionadas proporcionalmente. Más precisamente, que las dos magnitudes están en una relación de proporcionalidad directa, es decir, que si los valores de una de ellas se multiplican o dividen por un número, los de la otra quedan multiplicados o divididos por el mismo número. El vínculo de la relación es, justamente, la razón que liga a los dos valores de cada par relacionado.

Hay muchas situaciones en la matemática, en otras ciencias, en la vida diaria en las que se presentan pares de magnitudes relacionadas proporcionalmente de una manera directa.

Son ejemplos de estos pares de magnitudes:

  • El número de objetos (o kilos, litros, etc.) que se compran y el precio a pagar
  • El número de manos (normales) y el número de dedos presentes
  • A una velocidad constante, el tiempo transcurrido y la distancia recorrida
  • La masa y el peso de un objeto
  • En un cuadrado, la longitud de un lado y la medida del perímetro
  • El número de obreros y la cantidad de trabajo realizado
  • Trabajando a destajo, el número de horas trabajadas y el salario percibido
  • La participación en el capital y la participación en las ganancias
  • En un momento dado, las alturas de los objetos y las longitudes de las sombras que proyectan bajo el sol.
  • Las cantidades de los ingredientes de una receta y el número de comensales
  • La medida de ángulos a simple vista y a través de un lente de aumento.


Representación de dos magnitudes ligadas mediante una relación de proporcionalidad directa podemos hacerlo de varias formas:

  1. Mediante una tabla de valores.
  2. Mediante una expresión simbólica o fórmula.
  3. Mediante una expresión verbal.


La Regla de tres directa

Para resolver, por ejemplo, la situación: “Si 2 lápices cuestan 4 pesos, ¿cuánto costarán 5 lápices?”, podemos proceder de varias maneras. Ante todo, necesitamos reconocer si la relación entre las magnitudes “número de lápices” y “costo a pagar” es de proporcionalidad directa (¿lo es?; ¿por qué?) A partir de aquí formamos la proporción entre dos pares de valores correspondientes lápices/pesos:

2/4 = 5/z , De donde según la propiedad 1 de las proporciones, z = (4*5)/2 z = 10 pesos.

También puede procederse así –a partir siempre del reconocimiento de la relación entre las dos magnitudes como de proporcionalidad directa: Percibimos que la razón entre valores correspondientes de ambas (la constante de proporcionalidad) es 2 (obtenida del par 4 : 2),con lo que establecemos la expresión simbólica de la relación: costo = 2 * No de lápices. De donde concluimos que el costo de los 5 lápices será: costo = 2 * 5 = 10 pesos.

Estos procedimientos pueden plasmarse en lo que se reconoce tradicionalmente como la técnica de la regla de tres directa, establecida para resolver situaciones como la anterior, en las que –al formarse una proporción con dos pares de valores correspondientes de dos magnitudes ligadas mediante una relación de proporcionalidad directa- de los cuatro valores implicados se conocen tres y se desconoce uno.

Proporcionalidad Inversa

Supongamos que queremos pintar una casa y para ello contratamos 2 obreros. Ellos estiman que podrán pintar la casa completamente en 6 días.

Como el tiempo no nos pareció adecuado, entonces decidimos contratar 2 obreros más (4 en total) y estiman que podrán pintar la casa en 3 días.

Y como aún no nos parece suficiente, contratamos otros 2 obreros (6 en total) que estiman, podrán pintar toda la casa en 2 días lo cual nos parece bien. Podemos reconocer 2 variables asociadas a esto: los obreros y el tiempo. Claramente, mientras más obreros contratemos, menos tiempo demoraran.

Esta relación se conoce como proporcionalidad inversa, si una variable aumenta (disminuye), entonces la otra variable disminuye (aumenta) en la misma proporción.

La clave de una proporcionalidad inversa, es que el producto entre ambas variables se mantenga constante. En el ejemplo de la casa, la constante es igual a 12.

De manera similar para analizar este tipo de proporcionalidad se lleva a una tabla las correspondientes variables, si en la medida que aumenta (disminuye) una variable la otra disminuye (aumenta) estamos en presencia de una proporcionalidad inversa.

En el ejemplo anterior, las variables obreros contratados y el tiempo que demoraran lo llevamos a una tabla y observamos que en la medida que aumenta la cantidad de obreros contratados disminuye el tiempo que demoraran. Tabla p inversa.JPG El gráfico que representa a una proporcionalidad inversa es una hipérbola Prop inversa.JPG

En una proporcionalidad inversa la razón entre dos cantidades y el recíproco de la razón de sus correspondientes forman una proporción. Supongamos, por ejemplo, que varios vehículos recorren una distancia de 120 km y que cada vehículo viaja a una velocidad constante. Veamos una tabla de situaciones posibles:

Velocidad (km/h) Tiempo (h)
30 4
40 3
80 1 1/2
100 1 1/5

Evidentemente, las magnitudes velocidad y tiempo no están en una relación de proporcionalidad directa; por el contrario, al aumentar los valores de una, disminuyen los de la otra, y viceversa. En las situaciones de proporcionalidad directa, lo que se mantiene constante es la razón entre pares de valores correspondientes. Pero descubrimos que en las situaciones como las del ejemplo, lo que se mantiene constante es el producto entre pares de valores correspondientes:

30 * 4= 40 * 3 = 80 * 1 1/2 = 100 * 1 1/5 = 120, siempre.

Generalizando a cualquier situación en que se relacionan dos magnitudes, si cualquier par de valores correspondientes a y b, c y d (donde a y c son de la primera magnitud, y b y d de la segunda) verifican la igualdad: a*b= c *d, entonces decimos que las magnitudes se hallan en una relación de proporcionalidad inversa, o que son inversamente proporcionales.

En resumen, si x e y son dos variables que se encuentran en

  • Proporcionalidad Directa, entonces se cumple que: Si una magnitud aumenta la otra también aumenta y si una disminuye la otra también disminuye.
  • Proporcionalidad Inversa, entonces se cumple que: Si una magnitud aumenta la otra disminuye y si una disminuye la otra aumenta.


La resolución de problemas en el campo de las razones y proporciones

En el campo de las razones y de las proporciones, los problemas pueden referirse a la utilización de los conceptos, de sus propiedades y de sus diversas representaciones. También destacan las situaciones referidas a porcentajes, mezclas, reparto proporcional, regla de tres directa e inversa, escalas, y otras relacionadas con las fracciones. Todo ello en contextos simbólicos o de aplicación a la vida diaria.

Fuentes

  • Libro de texto. Matemática 6to grado
  • Libro de texto. Matemática 9no grado

Véase también