Relación de orden en triángulos

Relación de orden en triángulos es la que se establece entre los lados y otros segmentos con nombre propio de un triángulo. Comparando las medidas de los lados, las medianas, las alturas, las bisectrices, los cevianas, radio del círculo inscrito, radio del círculo circunscrito, área, perímetro(semiperímetro en la práctica expositiva), etc., usando: <, >, ≤, ≥.

Casos sencillos

• En cualquier triángulo oblicuángulo ABC, la altura que parte de un ángulo es menor que cada uno de los lados que forman dicho ángulo, esto resulta considerando la altura como perpendicular y el lado como oblicua que parten desde el mismo punto, justamente el vértice.

simbólicamente h_a < b, h_a < c. Además se cumple que h_a < (b+c)/2

para las tres alturas resulta h_a + h_b + h_c < a+b+c

• En un triángulo rectángulo BAC (ángulo recto en A) se tiene que para el cateto c, visto como altura se cumple c < (a+c)/2, de esto se deduce que c < a

la altura del ángulo recto h_a < b+c

• En un triángulo isósceles las alturas de lados iguales tienen la misma longitud; esta altura puede ser mayor o menor que la altura de la base.

Otros casos

• En todo triángulo rectángulo la altura de la hipotenusa es menor o igual que la mitad de esta.

la suma de los catetos es ≤ hipotenusa por 2^0.5

Se cumplen R ≥ S^0.5; r + 2R ≥ (2S)^0.5, siendo r radio del círculo inscrito; R, radio del círculo circunscrito y S el área del triángulo.

Un cateto es menor que la mediana que parte del mismo vértice.

• En todo triángulo de lados a, b, c:

a² + b² + c² < 2(ab+ac+bc)

a+b+c ≥ 6×3^0.5 r, donde r es radio del círculo inscrito

S ≤ (a+b+c)² ÷16, siendo S el área del triángulo

Bibliografía

• S. B. Gashkov: Desigualdades geométricas, Editorial URSS, Moscú 2015
• V. P. Suprún: Métodos de resolución y demostración de desigualdades, Editorial URSS, Moscú 2015