Semejanza geométrica en triángulos

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Dos triángulos son semejantes si existe una relación de semejanza o similitud entre ambos.

Introducción

Una semejanza es la composición de una materia (una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con una homotecia. En la rotación se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma.

Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma.

En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura).

Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos.

En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.

Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas la longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes:

Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes.

Ecuación

Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuación:

Corolarios

• Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
  * Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.

Una semejanza es la composición de una isometría (una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con una homotecia. En la rotación se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma. Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma. En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura). Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos. En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente. Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas las longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes: Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes Propiedad reflexiva, refleja o idéntica Todo triángulo es semejante a sí mismo. Propiedad idéntica o simétrica Si un triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero. Propiedad transitiva Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero. Estas tres propiedades implican que la relación de semejanza entre dos triángulos es una relación de equivalencia.

Teorema fundamental de la semejanza de triángulos

Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado.

H)

    ABC; r || AC
    r corta AB en L
    r corta BC en M

T)

D)

Casos

Podrán presentarse 3 casos:

Primer caso

r corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos.

Haremos una primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos (1):

por carácter reflejo

por ser correspondientes entre r || BC, secante AB

por ser correspondientes entre r || BC, secante AC

Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:

Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto N, y nuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos:

Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando en

se obtiene:

De y se obtiene la consideración que llamaremos (2):

Luego de (1) y (2), resulta:

por definición de semejanza.

Segundo caso

r corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos exteriores a ellos, sobre las semirrectas de origen B que los contienen.

Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo nuevo, y por el caso I de la demostración, es:

por carácter simétrico.

Tercer caso

r corta a las rectas de los lados AB y BC en puntos que pertenecen a las semirrectas opuestas a las que sirven de sostén a dichos lados.

Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construye BN=BL y por el extremo N del segmento construido, una paralela a AC (s) que corta la recta de BC por O. Quedan entonces por el caso I, semejanza que llamaremos \otimes.

Teniendo en cuenta los triángulos BNO y BLM, se observa:

• BN=BM por construcción
  * α=α' por ser opuestos por el vértice.
  * β=β' por ser alternos internos entre r || s, secante MN

Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM \oplus por el primer corolario de la definición.

De \otimes y \oplus, y por carácter transitivo:

BAC ~ BLM \Rightarrow BLM ~ BAC

Véase también

Triángulo

Teorema de Pitágoras

Fuente

wikipedia

Teoremas de Tales