Sistema sexagesimal
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El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional que emplea como base aritmética el número 60.
Sumario
Introducción
El Sistema Sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.
El número 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores como: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60), con lo que se facilita el cálculo con fracciones. Nótese que 60 es el número más pequeño que es divisible por 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
El uso del número 60 como base para la medición de ángulos, coordenadas y medidas de tiempo se vincula a la vieja astronomía y a la trigonometría. Era común medir el ángulo de elevación de un astro y la trigonometría utiliza triángulos rectángulos. En la Antigüedad, lo que ahora llamamos números enteros positivos excluido el cero eran los únicos números bona fide. Los números racionales actuales eran considerados razones entre números enteros, pues la filosofía imperante recurría a la proporción y una fracción, en definitiva, era una comparación proporcional entre dos segmentos de valores enteros. Todo esto vinculado a lo que llamamos mínimo común múltiplo. Todos los triángulos rectángulos de lados enteros tienen la propiedad de que el producto de sus tres lados es siempre un múltiplo de 60. Si uno de los catetos es primo, el otro es al menos múltiplo de doce y resulta múltiplo de sesenta si también la hipotenusa es prima. Si no hay cateto primo, un cateto es divisible por tres y el otro por cuatro; cualquiera de los tres lados es múltiplo de cinco. Esta penúltima afirmación tiene por excepción al triángulo sagrado egipcio, que tiene un cateto primo y la hipotenusa prima, pero el cateto compuesto es múltiplo de cuatro: (3, 4, 5), aunque el producto es sesenta. Otros ejemplos de triángulos con cateto e hipotenusa primos son: (11, 60, 61) y (71, 2520, 2521).
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medición del tiempo. Hay 24 horas en un día, 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto. Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal.
Este método de calcular unidades también se usa en tipografía, donde las unidades básicas cícero o pica se dividen en doce puntos, que a su vez se dividen en décimas de punto. Además de las razones históricas que pueda haber en el origen de esta forma de calcular el tamaño de los tipos de imprenta y de otros elementos de composición tipográfica como las columnas, corondeles o calles, el motivo de su permanencia se debe a la comodidad con la que se pueden realizar mentalmente divisiones en medios, cuartos y tercios con puntos tipográficos enteros sin recurrir a decimales.
Durante el Califato Omeya, el sistema sexagesimal fue empleado por los árabes tanto para contar el tiempo como para la geometría y trigonometría que había evolucionado de los ancestros babilónicos, pasando por el viejo Egipto y muchas otras culturas. Fueron precisamente los árabes quienes asentaron el uso del sistema sexagesimal en la cultura moderna, ya que durante casi 500 años ostentaron todo el potencial científico sin discusión. Al igual que en su momento los babilonios trazaron las primeras líneas para que los árabes utilizaran su sistema años después, estos cimentaron el uso del sistema sexagesimal tal y como lo conocemos hoy día. Y por muy curiosos que resulte todavía sigue funcionando a la perfección.
Operaciones en el sistema sexagesimal
Suma
- Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.
- Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos.
- Se hace lo mismo para los minutos.
Ejemplo
Resta
- Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.
- Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.
- Hacemos lo mismo con los minutos. Y después restamos las horas.
Ejemplo
Multiplicación
- Multiplicamos los segundos, minutos y horas (o grados) por el número.
- Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.
- Se hace lo mismo para los minutos.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Cociente
- Se dividen las horas (o grados) entre el número.
- El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.
- Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.
- Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.
Ejemplo
Historia
El origen se remonta a una manera de enumerar usando los dedos de las manos. En la antiguedad contaban señalando con el dedo pulgar de la mano derecha, si se era diestro, cada una de las 3 falanges de los restantes dedos de la misma mano, comenzando por el meñique. Con este método se puede contar hasta 12. Y para seguir con cifras mayores, cada vez que realizaban esta operación se levanta un dedo de la mano libre la izquierda hasta completar 60 unidades (12 x 5 = 60), por lo que este número fue considerado una cifra redonda, convirtiéndose en una referencia habitual en transacciones y medidas. Similar suerte corrió el número contado en la mano derecha, el 12, y algunos múltiplos como 24, 180 (12 x 15, o bien 60 x 3) y 360 (12 x 30, o bien 60 x 6). Por esto, el sistema sexagesimal se emparenta en su raíces históricas con el sistema duodecimal.
Esta forma de contar con los dedos (hasta 12 y, luego, hasta 60) sigue siendo usada en la actualidad por algunos habitantes del Medio Oriente.
El matemático Sergei Fomin reseñaba otras dos antiguas explicaciones sobre el origen del sistema sexagesimal, aunque él las consideraba poco creíbles y pobremente argumentadas. La primera hipótesis era que el sistema sexagesimal surgió del compromiso político entre dos tribus que se confederaron, combinando sus respectivos sistemas numéricos (senario y decimal). La segunda, presentaba el sistema como un derivado de la observación astronómica y no un resultado del uso cotidiano. De tal forma que, como los mesopotámicos establecieron su año en 360 días, habrían concluido el uso de un divisor de ese número (el 60) como cifra base de toda su numeración.
Uso del sistema sexagesimal
El sistema sexagesimal es un sistema de numeración de base 60. En sentido estricto, un sistema semejante debería asignar nombres diferentes a los dígitos 1, 2, 3, ..., 59, lo cual resulta a todas luces imposible. Por tanto, en todos los sistemas sexagesimales utilizados a lo largo de la historia se ha empleado una notación basada en el nombre de los dígitos decimales.
En el mundo cotidiano persisten dos aplicaciones muy comunes del sistema sexagesimal:
- La medida de ángulos en grados, minutos y segundos (por ejemplo 23º15m47s). En el Sistema Internacional de unidades, se ha suprimido el grado sexagesimal como medida estándar para reemplazarlo por el radián.
- La subdivisión del tiempo: una hora se divide en 60 minutos y un minuto, en 60 segundos. Este sistema horario se combina con el sistema duodecimal, de base 12, que se emplea para medir el número de horas del día (en dos bloques de doce horas). Nuevamente, estas subdivisiones tienen valor sólo en el mundo cotidiano; en el ámbito científico, se trabaja con el segundo como unidad base de tiempo y con un sistema de numeración decimal, (décimas de segundo, centésimas,... ).
