Teoría de conjuntos

Teoría de Conjuntos Concepto: Rama de las matemáticas que estudia los conjuntos: sus relaciones y operaciones.

Teoría de conjuntos. Rama de las matemáticas cuyo objeto son los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.

El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos ni ordenados"; un conjunto está bien definido, cuando puede afirmar si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.

En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor:

Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento. Georg Cantor

El concepto de conjunto y conjunto de conjuntos juega un rol importante en la fundamentación de la topología general y de la teoría de probabilidades, entre otras ramas.

Noción de conjunto.

Para estudiar la teoría de conjuntos, hay que partir de establecer qué es un conjunto. Al mencionar esta palabra vienen a la mente ideas como el conjunto de los números reales (R), un conjunto de personas, un conjunto musical o el conjunto de las letras del alfabeto, y es que, en efecto, todos estos son conjuntos.

Aunque se plantea que no es posible definir formalmente el concepto de conjunto, este puede describirse como una agrupación o colección de objetos, lo que lleva inevitablemente a establecer qué es un objeto.

Un objeto o elemento, en la teoría de conjuntos es cualquier cosa, puede ser algo físico, como una PC, puede ser también una abstracción como un programa y puede ser incluso un conjunto. Es importante notar que entre los objetos que forman un conjunto no tiene que haber ninguna característica en común, excepto el propio hecho de pertenecer al conjunto. Así se encuentran conjunto homogéneos como el de las impresoras o el de los componentes de Hard, pero existen conjuntos tan heterogéneos como se quiera, por ejemplo un conjunto formado por un una mesa, una persona y una PC.

Hay que aclarar que un conjunto no es una agrupación física de objetos, sino una abstracción que puede corresponderse con agrupaciones físicas, pero también con agrupaciones que sólo existen como idea, tal es el caso del conjunto de trabajos presentados en los eventos de Infoclub, cada una ocurrió en un momento y lugar distinto.

Convencionalmente, los conjuntos suelen nombrarse con letras mayúsculas del alfabeto latino (A, B, C…), mientras los objetos que los forman se representan con letras minúsculas del mismo alfabeto.

De los objetos que forman un conjunto se dice que son elementos del mismo o que pertenecen a él. la siguiente expresión corresponde a la representación Si a es un elemento del conjunto A, entoces se dice que a pertenece a A

Existen conjuntos muy utilizados como R, N, Z, para los que es fácil identificar sus elementos, pero en general no es así, por lo que es útil contar con un modo de representación de los conjuntos que deje explícito cuáles son los objetos que los forman. Hay dos maneras básicas de definir y representar un conjunto a través de los elementos que lo componen,la representación extensional y la representación intensional.

La representación extensional de un conjunto no es más que la enumeración de todos sus elementos, separados por comas y encerrados entre llaves, los siguientes ejemplos constituyen representaciones extensionales de cuatro conjuntos de tres elementos cada uno y un quinto de cuatro elementos:

1.{mouse, Teclado, Speaker}

2.{a, f, g}

3.{1,2,3}

4.{Rojo, Azul, Verde}

5.{1, f, Maus, Rojo}

La representación intensional, se basa en expresar mediante una fórmula matemática, una propiedad que describa a todos los elementos del conjunto y que ningún elemento ajeno al conjunto la cumpla. Esta es una manera mucho más compacta de representar conjuntos de gran cantidad de elementos e incluso de infinitos elementos, pero tiene como limitación que no siempre existe tal fórmula y en muchos casos, aún existiendo, es muy difícil encontrarla. A continuación aparecen algunos ejemplos de conjuntos y sus representaciones intencionales.

1.La representación intensional del conjunto de todos los números reales del intervalo [3..5] es {x | x pertenece a R, x mayor o igual a 3 y x menor o igual a 5}.

Su representación extensional sería: {3,4,5}

2.La representación intensional del conjunto de todos los números naturales múltiplos de 3 es {x | x pertenece a  N, x = 3k, k pertenece a N }

3.{x | 6x7 + 3x2 + 5 = 0} es la representación intensional del conjunto de soluciones de la ecuación 6x7 + 3x2 + 5 = 0

4.{x | x pertenece a R, | x > 5 } es la representación intensional del conjunto de números reales que no pertenecen al intervalo [-5..5]

Importante es notar que, para un mismo conjunto, puede haber más de una representación intensional, como ilustra el siguiente ejemplo:

{x | x pertenece a R, x > -2, x < 4} y {x | x pertenece a R, | x – 1 | < 3 } son representaciones intencionales del conjunto de números reales del intervalo [-2..4]

Tipos de conjuntos

Conjunto vació o conjunto nulo: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por ∅ o { }.

A = {x² + 1 = 0 | x ∈ R}

El conjunto A, es un conjunto vacío porque no hay ningún número real que satisfaga a x²+1 = 0

Conjunto universal o conjunto referencial: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U o Ω.

La familia de todos los subconjuntos de un conjunto cualquiera A se llama conjunto potencia, denotado por P(A) o 2^A. Este, si no es el conjunto vacío contiene, necesariamente ∅ y el mismo conjunto, llamados subconjunto impropios. Si B es subconjunto de A es lo mismo que B sea un elemento del conjunto potencia de A.

Si un conjunto es finito con n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2ⁿ subconjuntos o partes.

A = {1, 2 }

El total de subconjuntos es: 2² = 4

{1,2}, {1}, {2}, { }

Conjuntos disjuntos Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen elementos que pertenezcan a ambos. F = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

G = {a, b, c, d, e, f}

Partición. Cuando un conjunto es dividido en subconjuntos mutuamente excluyentes y exhaustivos, se le denomina partición.

Inclusión e igualdad entre conjuntos

Entre los conjuntos se establecen dos relaciones fundamentales, la inclusión y la igualdad, la primera expresa que todos los elementos de un conjunto se encuentren en otro, mientras la segunda plantea que dos conjuntos están formados por los mismos elementos. A continuación se formalizarán y ejemplificarán estas relaciones.

Definición. Sean A y B dos conjuntos, se dice que A está incluido en B, o que A es subconjunto de B si y sólo si todos los elementos de A son también elementos de B.

Obsérvense los siguientes ejemplos de inclusión entre conjuntos:

1.{ Mouse, Teclado, Speaker } subconjunto { mouse, Teclado, Speaker, 4}

2.{ Mouse, Teclado, Speaker } subconjunto { Teclado, Mouse, Speaker }

Este par de ejemplos evidencia que si A subconjunto B, en B puede o no, haber elementos que no pertenecen al conjunto A, por otro lado, de la definición de inclusión queda claro que en A no puede haber elementos que no pertenezcan a B.

Los siguientes son también ejemplos de inclusión entre conjuntos:

1.El conjunto de trabajadores del JCCE Camaguey 5 es un subconjunto del conjunto de trabajadores de los JCCE de Camagüey.

2.El conjunto de adiestrados de informática en los Jóvenes Club del Municipio Camaguey es un subconjunto del conjunto de adiestrados del Municipio, pero no es subconjunto del conjunto de habitantes del municipio de Camaguey pues entre los estudiantes mencionados hay algunos que habitan en otros municipios.

3.El conjunto de los programas de diseños que se imparten en los Jóvenes Club es un subconjunto del conjunto de los programas de Soft que se imparten en este movimiento.

4.El conjunto de los ingenieros informáticos es un subconjunto del conjunto de todos los ingenieros, que a su vez es subconjunto del conjunto de graduados universitarios.

A partir de la inclusión entre conjuntos se define la igualdad de la siguiente manera:
Definición. Sean A y B conjuntos, A es igual a B (A = B) si y sólo si A subconjunto B y B subconjunto A.

Se evidencia que si A es subconjunto de B, todos los elementos de A, son elementos de B, mientras que como B es subconjunto de A, no existen en B elementos que no pertenezcan al conjunto A, de lo que se desprende que los elementos de A y B son exactamente los mismos. A continuación se ejemplifica la igualdad entre conjuntos.

1.{1, 2, 3} = {1, 2, 3}

2.{1, 2, 3} = {2, 3, 1}

3.{1, 2, 3} = {2, 1, 3}

4.{1, 2, 3} = {1, 2, 1, 3}

De la definición de igualdad entre conjuntos se desprende que el orden de los elementos de un conjunto no tiene ninguna importancia, es más, en los conjuntos los elementos no tienen orden, aunque al representarlos extensionalmente sea inevitable enumerarlos ordenados de alguna manera. Otra consecuencia lógica de la definición de igualdad entre conjuntos es que no tiene sentido que existan elementos repetidos en la representación de un conjunto, lo que se evidencia mediante el caso 4 del ejemplo anterior, no puede decirse que el segundo conjunto tiene cuatro elementos, porque sólo está compuesto por los elementos 1, 2 y 3.

Cuando un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B pero estos no son iguales, entonces se dice que A es subconjunto propio de B.

Los siguientes, son ejemplos de la relación anterior:

1.{1, 2, 3} subconjunto propio de {1, 3, 2, 4}

2.{1, 2} subconjunto propio de {2, 8, 4, 10, 1}

Conjuntos distinguidos

Entre los conjuntos, existen algunos que tienen características muy particulares que los hacen objeto de interés especial en la teoría de conjuntos. El primero de estos es el conjunto vacío, que no es más que la abstracción que representa al conjunto que no tiene ningún elemento, este se representa mediante una llave abierta y otra cerrada {}, el conjunto vacío por definición es subconjunto de todo conjunto. El papel que juega el conjunto vacío entre los conjuntos se puede comparar al que desempeña el cero entre los números.

Al trabajar con cualquier tipo de objetos, resulta conveniente fijar un conjunto que contenga todos los objetos de interés, a este conjunto se le llama Universo de discurso o simplemente conjunto Universo y se representa como U, de esta manera cuando se estudian las propiedades de los números naturales U = N, si se trabaja en el análisis de los números reales U = R y si se hace un estudio del personal de una empresa, U será el conjunto de trabajadores de la misma. Es importante señalar que una vez fijado el Universo de Discurso, todo conjunto con el que se trabaje será subconjunto de U (a menos que sea un conjunto de orden superior o conjunto de conjuntos).

El tercer conjunto distinguido es el conjunto potencia, que se define de la siguiente manera; dado un conjunto A, el conjunto potencia de A (P(A)) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Con respecto al conjunto potencia deben tenerse presente algunos aspectos:

1.Su composición depende del conjunto A que se tome.

2.Todos sus elementos son a su vez conjuntos.

3.A y {} pertenecen a P(A)

Obsérvese el siguiente ejemplo:
Sea A = {1, 2, 3}, entonces P(A) = {{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}
Álgebra de conjuntos.
El álgebra de conjuntos es el área de la matemática que estudia a los conjuntos como objetos matemáticos para los que se define un conjunto de operaciones que cumplen determinadas leyes. Las operaciones del álgebra de conjuntos son: unión, intersección, complemento, complemento relativo y diferencia simétrica. A continuación se define cada una de ellas.

La unión entre conjuntos es una operación que consiste en obtener, a partir de dos conjuntos, uno nuevo formado por los elementos de ambos.
Es decir, si A y B son conjuntos, la unión de A y B da como resultado el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B y sólo por estos elementos. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {4, 2, 3}, la unión de A y B será {1, 2, 3, 4}, evidentemente los elementos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos A y B, pertenecen a la unión y se representan en esta solo una vez, tal es el caso del 2 en el ejemplo anterior.

Conociendo la definición de unión, puede comprenderse que es lo mismo referirse al conjunto de los programas de Soft que a la unión de los conjuntos de los programas de aplicación, programas de diseños y programas de programación.
En ocasiones es importante trabajar con los elementos que pertenecen simultáneamente a dos conjuntos, por ejemplo, en el grupo de informática de primer año hay un conjunto de estudiantes que son buenos deportistas y un conjunto de estudiantes que son muy buenos académicamente, para los juegos de la carrera se desea determinar que estudiantes pueden representar el año (lo que implica que dejarán de asistir a clases por una semana) sin afectar su desempeño docente, a todas luces los candidatos ideales son aquellos que pertenezcan a los dos conjuntos mencionados, o en otras palabras los que pertenezcan a su intersección.

La intersección entre conjuntos consiste en obtener, a partir de dos conjuntos, uno nuevo formado por los elementos que se encuentran simultáneamente en ambos.

De modo que si A y B son conjuntos, La intersección de A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen tanto a A como a B, y sólo por estos elementos. Por ejemplo, si A = {1,2} y B = {4,2,3}, La intersección de A y B será {2}

Volviendo al caso de los juegos de la carrera de informática, suponiendo que el conjunto de estudiantes que son buenos deportistas (D en lo adelante) es {Luis, Leticia, Alberto, María, José}, mientras el conjunto de estudiantes que son muy buenos académicamente (A en lo adelante) es {Pedro, Leticia, Rafael, Ana, José}, se tiene que el conjunto de los estudiantes idóneos para los juegos (J en lo adelante) es {Leticia, José}, en términos del álgebra de conjuntos  se expresa: J = a la interseccón de D y A

Ahora analícese el siguiente ejemplo. El Departamento de Metodología de los JCCE de Camaguey, está procesando el análisis de los estudiantes matriculados en el curso, el universo de su análisis es el conjunto de las edades de cada alumno, en el que se destacan dos conjuntos: A, el conjunto de los menores de 15 años ; D, el conjunto de mayores de 15 años, estos dos conjuntos cumplen la propiedad de que los elementos de uno, son todos los elementos del universo que no pertenecen al otro. En este caso se dice que A es el complemento de D o viceversa.

El complemento de un conjunto A, (Ac) es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A.

Evidentemente debe estar definido U(universo) y todos los elementos pertenecerán a U. Por ejemplo, si U = {1,2,3,4,5,6} y A = {4,2,3}, Ac será {1,5,6}

Suele ser útil aplicar este concepto de complemento, pero en ocasiones en un ámbito mas restringido. Retomando el ejemplo anterior, supóngase que no se desea definir como universo al conjunto de las edades de los estudiantes en curso (E en lo adelante), sino al conjunto de las edades de los estudiantes de los últimos diez años, en tal caso no es posible afirmar que A es el complemento de D, ni viceversa, pero puede plantearse que A, es el complemento relativo de D con respecto a E.

El complemento relativo de un conjunto A con respecto a un conjunto B, se representa como B – A y es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a B, pero no pertenecen a A.

Por ejemplo, si A = {4, 2, 3} y B = {1, 2}, B - A será {1}. El complemento relativo cualquier conjunto A, con respecto a U, siempre será Ac.

Supóngase ahora que se tienen dos conjuntos de automóviles, los de fuerza (F) y los de lujo (L), hay automóviles que pertenecen a ambos conjuntos, así como los hay que no pertenecen a ninguno. Un comprador desea adquirir un auto que pertenezca solo a uno de los conjuntos, sin importarle cual, o sea, él desea analizar para la compra todos los autos que pertenezcan a F o a L pero no a ambos, en tal caso se dice que el desea analizar los autos que pertenezcan a la diferencia simétrica de F y L.

La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a uno de los dos, pero no a ambos.

Por ejemplo, si A = {1,2} y B = {4,2,3}, la diferencia simétrica de A y B será {1,3,4}, quedando el 2 excluido por pertenecer a ambos conjuntos.

Cubrimientos y particiones.

Entre conjuntos de conjuntos (comúnmente llamados familias de conjuntos) y conjuntos cualesquiera se establecen dos relaciones que se explican a continuación.

Una familia de conjuntos, {A1, ... An} es un cubrimiento de un conjunto B, si y sólo si la unión de todos los conjuntos de la familia incluye a B.
Obsérvese el siguiente ejemplo:

A1 = {1, 2, 3}, A2 = {2, 3, 4}, A3 = {6, 8, 10}

B = {1, 3, 4, 8, 10}

La familia de conjuntos {A1, A2, A3} constituye un cubrimiento de B, sin embargo, {A2, A3} no lo constituye pues en la unión de los conjuntos de la familia no está el 1 que sí pertenece a B.

Una partición de un conjunto B, es una familia de conjuntos {A1,... An} tal que se cumplan las siguientes condiciones:

El vacío pertenece a {A1, ... An}

B es igual  a la unión de Ai

2.La intersección de Ai y Aj es igual al vacío para toda i, toda j entre 1 y n tal que i diferente de j

Toda partición es un cubrimiento, pero todo cubrimiento no es una partición, el ejemplo de cubrimiento anterior no es una partición sin embargo el siguiente si es un ejemplo de partición:

A1 = {1, 2}, A2 = {4, 5}, A3 = {6, 8, 10}

B = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10}

Importante es aclarar, que tanto en el caso de los cubrimientos como en de las particiones, la familia de conjuntos puede ser infinita, como en el ejemplo que aparece a continuación:

Ai = {x | x es múltiplo de i}

La familia {x | x = Ai , con i mayor o igual a 1} es cubrimiento de cualquier conjunto de números enteros positivos.

Fuentes

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