Diferencia entre revisiones de «Topología del plano complejo»
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Un w<sub>0</sub> de un conjunto H parte de C se llama ''punto interior'' de H si existe una vecindad V<sub>r</sub>(w<sub>0</sub> ) de w<sub>0</sub> que sea parte de H. | Un w<sub>0</sub> de un conjunto H parte de C se llama ''punto interior'' de H si existe una vecindad V<sub>r</sub>(w<sub>0</sub> ) de w<sub>0</sub> que sea parte de H. | ||
| − | El conjunto de todos los puntos interiores de H se llamo el '' | + | El conjunto de todos los puntos interiores de H se llamo el ''interior '' de H y se denota por H<sup>0 </sup>. |
Al conjunto H se llama ''conjunto abierto'' si H = H<sup>0 </sup>. | Al conjunto H se llama ''conjunto abierto'' si H = H<sup>0 </sup>. | ||
En otras palabras, un conjunto H es abierto si, sólo si, todo punto de H es punto interior de H. | En otras palabras, un conjunto H es abierto si, sólo si, todo punto de H es punto interior de H. | ||
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| + | ===Ejemplos de conjunto abierto=== | ||
| + | *El conjunto H= {z/ |z| < 1}, el conjunto de los puntos cuya distancia al origen es menor que 1. Sea el punto z<sub>0</sub> un punto cualquiera de H, consideremos r = mín{|z<sub>0</sub> |, 1 - |z<sub>0</sub>| }; la vecindad V<sub>r</sub>(z<sub>0</sub> ) = {z/ |z- z<sub>0</sub> | < r} está contenido en {z/ |z| < 1}; luego z<sub>0</sub> es punto interior, por consiguiente H es un conjunto abierto en C. | ||
==Propiedades de conjuntos abiertos== | ==Propiedades de conjuntos abiertos== | ||
Revisión del 12:08 23 oct 2015
La topología del plano complejo es la misma que la topología de R2, para lo cual se va a usar el concepto de distancia entre los números w y z , d = |w-z |
Sumario
Vecindad
se llama vecindad del punto w0, que está en C, a todo conjunto V que contiene un círculo
Vr(w0 ) = {z / |z-w0 | < r},
de centro w0 y radio r > 0.
El círculo Vr(w0 ) es, obviamente, una vecindad de w0
Punto interior
Un w0 de un conjunto H parte de C se llama punto interior de H si existe una vecindad Vr(w0 ) de w0 que sea parte de H.
El conjunto de todos los puntos interiores de H se llamo el interior de H y se denota por H0 .
Al conjunto H se llama conjunto abierto si H = H0 .
En otras palabras, un conjunto H es abierto si, sólo si, todo punto de H es punto interior de H.
Ejemplos de conjunto abierto
- El conjunto H= {z/ |z| < 1}, el conjunto de los puntos cuya distancia al origen es menor que 1. Sea el punto z0 un punto cualquiera de H, consideremos r = mín{|z0 |, 1 - |z0| }; la vecindad Vr(z0 ) = {z/ |z- z0 | < r} está contenido en {z/ |z| < 1}; luego z0 es punto interior, por consiguiente H es un conjunto abierto en C.
Propiedades de conjuntos abiertos
- La unión de una familia cualquiera de conjuntos abiertos es también un conjunto abierto
- la intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
Conjunto cerrado
Propiedades
Punto de acumulación
Fuentes
- Funciones de variable compleja de José I. Nieto
- Variable compleja de César A. Trejo
