Topología del plano complejo

La topología del plano complejo es la misma que la topología de R², para lo cual se va a usar el concepto de distancia entre los números w y z , d = |w-z |

Definición

Se llama círculo abierto de radio r > 0 y centro en H, número complejo, al conjunto C (H,r) = {z / |z- H| < 0}

Vecindad

se llama vecindad del punto w₀, que está en el plano complejo, a todo conjunto V que contiene un círculo abierto

V_r(w₀ ) = {z / |z-w₀ | < r},

de centro w₀ y radio r > 0.

El círculo V_r(w₀ ) es, obviamente, una vecindad de w₀

Punto interior e interior

Un w₀ de un conjunto H parte de C se llama punto interior de H si existe una vecindad V_r(w₀ ) de w₀ que sea parte de H.

El conjunto de todos los puntos interiores de H se llama el interior de H y se denota por H⁰ .

Conjunto abierto

Un conjunto H de números complejos se llama 'conjunto abierto si el conjunto es igual a su interior. O bien si H = H⁰ .

En otras palabras, un conjunto H es abierto si, sólo si, todo punto de H es punto interior de H.

Ejemplos de conjunto abierto

• El conjunto H= {z/ |z| < 1}, el conjunto de los puntos cuya distancia al origen es menor que 1. Sea el punto z₀ un punto cualquiera de H, consideremos r = mín{|z₀ |, 1 - |z₀| }; la vecindad V_r(z₀ ) = {z/ |z- z₀ | < r} está contenido en {z/ |z| < 1}; luego z₀ es punto interior, por consiguiente H es un conjunto abierto en C.

• El conjunto C de todos los números complejos es abierto. De igual modo el conjunto vacío ∅ es un conjunto abierto, vacuamente se cumple la definición de conjunto abierto.
• El conjunto G de los puntos del plano complejo que satisfacen la ecuación | z - i | > 5; o se los puntos que no están en el círculo de centro en i = (0; 1) y de radio 5.
• El conjunto K de los puntos z del plano complejo tal que Re(z) >0, es un conjunto abierto. El conjunto K es uno de los semiplanos cuya frontera es el eje imaginario.
• El conjunto L de los puntos z del plano complejo tal que | z-1 | + | z+1 | <= 5 no es conjunto abierto.

Definición de una topología en C

Sea Θ = { V...} la familia de todos los conjuntos abiertos del plano C. A esta familia θ, que verifica las cuatro condiciones siguientes se dirá una topología en el conjunto C.

1. La unión de una familia cualquiera de conjuntos abiertos es también un conjunto abierto
2. la intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
3. El conjunto vacío {} es abierto
4. El conjunto C de los números complejos es abierto.

Región

Un conjunto abierto y acotado de C se llama región.

como ejemplo

Un círculo círculo abierto

Sea c un punto fijo del plano complejo y 0 < m < n, números reales, el conjunto J = {z/ r < |z -c|} es una región.

Conjunto cerrado

Un conjunto F se llama cerrado si el complemento de F: F^c = { z/ z no está en F } es abierto.

• Un conjunto puede ser abierto y cerrado a la vez, tal el caso del conjunto vacío {} y del conjunto C de los números complejos.

Propiedades

1. La intersección de una familia finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.
2. La unión de una familia finita de cerrados es un conjunto cerrado.
3. El conjunto {} y el C de todos los números complejos son conjuntos cerrados, porque sus respectivos complementos son abiertos.

Punto de acumulación

Sea a un punto del plano complejo y L un conjunto de números complejos,, diremos que a es un punto de acumulación de L, si toda vecindad de a contiene por lo menos un punto de L distinto de a. , Ejemplo Cualquier punto de la circunferencia de un círculo abierto K es un punto de acumulación de K.

Fuentes

• Funciones de variable compleja de José I. Nieto
• Variable compleja de César A. Trejo