Topología usual del plano

Topología usual del plano
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Concepto:Razonamiento exclusivo de las figuras del plano.

Topología usual del plano. Es el razonamiento exclusivo de las figuras del plano. Con el ánimo de presentar ciertas características topológicas de figuras del plano vamos a introducir definiciones pertinentes usuales, mediante el concepto de círculo abierto.

Conjuntos y conceptos básicos

  • Consideremos un 'círculo abierto' de centro K y radio r, denotado por C(K; r), al conjunto de todos los puntos del plano cuya distancia a K es menor que el real positivo r. Es el equivalente a un intervalo abierto simétrico de la recta: <a-d; a+d>. Se llama también vecindad o entorno de K.
  • Diremos que un conjunto A del plano es 'abierto' (conjunto abierto), si para cualquiera de sus puntos existe un círculo abierto con centro en dicho punto K y que está contenido en A. Se considera que la unión de una clase cualquiera de abiertos es abierta y la intersección de una clase finita de abiertos es abierta. [1]. Como ejemplos de conjunto abierto tenemos: el interior y el exterior de un triángulo cualquiera. También lo es un círculo sin considerar los puntos de su circunferencia.
  • Diremos que un conjunto F del plano es 'cerrado' si su complemento respecto del plano X es abierto.
  • Un punto H es 'punto interior' del conjunto S del plano si hay un círculo abierto C(H; r) con centro en H y radio r, contenido en S,. El conjunto de los puntos interiores de S, se llama 'interior de S', se denota Int(S).
  • Al interior del complemento de S respecto del plano X, se llama 'exterior de S', denotado Ext (S)
  • El punto L es ' punto frontera' del conjunto S, si un círculo abierto C(L; r) con centro en L contiene puntos del interior como del exterior de S. Se llama 'frontera' de S a todos los puntos frontera de S. [2].
  • S dice que el punto P0 del plano es 'punto de acumulación' del conjunto S del plano, si cualquier círculo abierto que contiene a P0 tiene como elemento otro punto distinto del plano. En realidad, cualquier entorno de P0 contiene un conjunto infinito de puntos que están en S. [3]. Como ejemplo cualquier punto de una circunferencia es punto de acumulación del conjunto de puntos H de su círculo. Lo mismo el centro de un círculo es punto de acumulación del círculo dado. Y, por último, cualquier punto interior de un círculo es punto de acumulación del mismo. Al conjunto de todos lo puntos de acumulación de S se llama 'conjunto derivado' de S; se denota S d . No es necesario que el punto de acumulación de un conjunto sea elemento de tal conjunto; para el caso el círculo reducido Hr, el que no contiene a los extremos de uno de sus diámetros. Estos extremos son punto de acumulación de Hr, aunque no son elementos de tal círculo reducido.
  • Por definición el plano, denotado por 'X' y el conjunto vacío Ø son abiertos. Y en consecuencia también son cerrados por ser complementarios.
  • 'Clausura' del conjunto A en el plano X es la intersección de todos los cerrados que contienen a A.

Casos de figuras conocidas

Semiplano

Una recta l determina sobre el plano dos conjuntos disjuntos S_1 y S_2, llamados semiplanos. La recta separatriz no se considera parte de ninguno de los semiplanos. En esas condiciones cada semiplano es un conjunto abierto; también su interior coincide con el mismo. El exterior del semiplano S_2 es el semiplano S_2 y viceversa. La clausura de S_1 es la unión de él mismo con la recta 'l'. La frontera de los dos semiplanos S_1 y S_2 es la recta separatriz 'l'.

Una recta del plano

La recta 'l' determina dos semiplanos que son abiertos y estos son su complemento de 'l'. En consecuencia es cerrado. Su interior es el conjunto vacío; su clausura es el mismo, igual que su frontera.

Conjuntos de puntos

A cualquier conjunto no vacío de puntos del plano se llama figura plana. Entre ellos: ángulos, segmentos, polígonos.

Conjunto acotado

Un conjunto S de puntos del plano es acotado si existe un círculo C de radio r no nulo tal que S es un subconjunto de C. Como ejemplo el conjunto de los puntos H formado por una elipse y su interior es un conjunto acotado; no lo es el con P (x, y) tales que x >= 0; y >=0.

Conjunto compacto

Un conjunto es compacto si es conjunto cerrado y acotado.

  • Una región triangular.
  • Una región poligonal cerrada.
  • Cualquier conjunto finito de puntos.

Conjunto conexo

Un conjunto a es conexo si no existe la partición del mismo en dos conjuntos no vacíos y disjuntos A 1 y A 2 , ninguno de los cuales contiene puntos de acumulación del otro. Intuitivamente es de una sola pieza. Como ejemplo:

  • Un semicírculo.
  • Un rombo con su interior.
  • Un conjunto de puntos encerrados por una parábola y una cuerda de ella.
  • Una región poligonal sin autointersecciones.
  • Una corona circular


No son conexos (desconexos) los siguientes:

  • Cualquier conjunto finito que contiene más de un punto.
  • Conjunto de todos los puntos de un número finito de conjuntos cerrados, sin puntos comunes dos a dos.
  • El conjunto de todos los puntos de dos círculos disjuntos.

Invariantes de una transformación

Las propiedades de las figuras que una transformación dada no altera se llaman invariantes de esta transformación. Como ejemplo la propiedad de una figura de ser un ángulo es un invariante de la simetría central.

Invariantes de la simetría central

Referencia

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