Álgebra elemental
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Álgebra Elemental. El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.
Sumario
Origen
La palabra Álgebra es de origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala, que significa Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado, el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas.
Preliminares del Álgebra Elemental
El Signo de la Suma:
- Es +, que se lee más. Así, a + b se lee a más b.
El Signo de la Menos:
- Es -, que se lee menos. Así, a - b se lee a menos b.
Signo de la Multiplicación:
- Es x, que se lee multiplicado por. Así, a * b se lee a multiplicado por b.
En lugar del signo * suele emplearse un punto entre los factores y también se indica la multiplicación colocando los factores entre paréntesis.
Así, a • b y (a) (b) equivalen a a * b:
Entre factores literales o entre un factor numérico]y uno literal el signo de multiplicación suele omitirse. Así abc equivale a a x b x c; 5xy equivale a 5 * x * y
Signo de división:
- Es ÷, que se lee dividido entre. Así, a ÷ b se lee a dividido entre b. También se indica la división separando el dividendo y el divisor por una raya horizontal. Así, m / n equivale a m ÷ n.
Signo de la Elevación a Potencia:
- Es el exponente, que es un número pequeño colocado arriba y a la derecha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad, llamada base, se toma como factor.
Así, a3=aaa; b5=bbbbb
Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es la unidad. Así, a equivale a:
a1; mnx equivale a m1n1x1
Signo de Raíz:
Es √, llamado signo radical, y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raíz.
Así, √a equivale a raíz cuadrada de a, o sea, la cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad a, 3√b equivale a raíz cúbica de b, o sea la cantidad que elevada al cubo reproduce la cantidad b.
Coeficiente.
En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor. Así, en el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando tres veces, o sea 3a=a+a+a; en el producto 5b, el factor 5 es coeficiente de b e indica que 5b=b+b+b+b+b. Estos son coeficientes numéricos.
En el producto ab, el factor a es coeficiente del factor b, e indica que el factor b se toma como sumando a veces, o sea ab=b+b+b+b…a veces. Este es un coeficiente literal. En el producto de más de dos factores, uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes. Así, en el producto abcd, a es el coeficiente de bcd; ab es el coeficiente de cd; abc es el coeficiente de d.
Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente es la unidad. Así, b equivale a 1b; abc equivale a 1abc.
Signos de Relación.
Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son:
- =, que se lee igual a. Así, a = b se lee a igual a b
- >, que se lee mayor que. Así, x + y > mse lee x + y mayor que m.'
- <, que se lee menor que. Así, a < b + cse lee a menor que b + c.
Signos de Agrupación.
Los signos de agrupación son:
- Paréntesis ordinario ( )
- Paréntesis angular o corchete [ ]
- Las llaves { } y la barra o vínculos ----
Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así, (a + b) c indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c;[a – b] m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m; {a + b} ÷ {c – d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d.
Modo de resolver los problemas en aritmética y en Álgebra
Exponemos a continuación un ejemplo para hacer notar la diferencia entre el método aritmético y el Algebraico en la resolución de problemas, fundado este último en la notación Algebraica y en la generalización que éste implica.
Las edades de A y B suman 48 años. Si la edad de B es 5 veces la edad de A, ¿qué edad tiene cada uno?
Método Aritmético
- Edad de A más edad de B=48 años.
Como la edad de B es 5 veces la de A, tendremos:
Edad de A más 5 veces la edad de A=48 años.
O sea, 6 veces la edad de A=48 años; Luego, Edad de A=8 años.
Edad de B=8 años 5=40 años.
Método Algebraico.
Como la edad de A es una cantidad desconocida la represento por .
Sea x = edad A
Entonces 5x = edad B
Como ambas edades suman 48 años, tendremos:
x + 5x = 48 años
O sea, 6x = 48 años
Si 6 veces x equivale a 48 años, x valdrá la sexta parte de 48 años, O sea, x = 8 años,edad de A. Entonces 5x = 8 años * 5 = 40 años,edad de B.
Fuentes
- Álgebra Elemental. A. Baldor
