Álgebra de Banach

Un álgebra de Banach, en la matemática y, en particular, en análisis real, es un espacio de Banach que además es un álgebra sobre un cuerpo. Un álgebra de Banach aparece en el análisis funcional .Se le ha dado este nombre en honor al matemático polaco, Estéfano Banach, quien trabajó e investigó en la Unión Soviética.

Los siguientes postulados definen un álgebra de Banach

Postulados

Un Álgebra sobre un cuerpo es un C- espacio vectorial A , en el que está definida una multiplicación que cumple los siguientes postulados

1. P1. Asociativa u(vt)= (uv)t
2. P2. distributiva (u + v)t = ut + vt, u(v + t) = uv + ut
3. P3. asociativa mixta α(uv) = (αu)y= u(αv)

donde u, v, t están en A y para todo α en C .
Cuando, asimismo, A es un espacio de Banach respecto de una norma que cumple:

P4. ||uv|| ≤ ||u|| ||v|| (u ∈ A, v ∈ A).

P5. Y si A contiene un elemento identidad tal que ue = eu = u (u ∈ A).

P6. Finalmente, ||e|| = 1, ( norma del elemento identidad = 1)

A se llama álgebra de Banach.

Ejemplo

• Sea C(K) el espacio de Banach de todas las funciones complejas sobre un espacio de Hausdorff compacto no vacío con la norma del supremo. Se define la multiplicación de manera usual :

(fh)(q) = f(q)h(q),

Este hace a C(K) un álgebra de Banach conmutativa; el elemento identidad es la función constante 1 sobre C.

Empleos

Los espacios de Banach, lo mismo que las álgebras de Banach, se utilizan en la solución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Su estudio se realiza en las áreas de ingeniería, economía, física y en la propia matemática.

Fuente bibliográfica

1. Rudin, W. Análisis funcional. Editorial Reverté S.A., 1979, impreso en España. ISBN - 84 - 291- 5115 - X.
2. Merklen, Héctor A.: Estructuras algebraicas VII [Estructuras de álgebras] (1983), publicación de la Organización de los Estados Americanos, Washington D.F.
3. Nachbin, Leopoldo: Introduçāo à análise funcional: Espaços de Banach e cálculo diferencial (1976) publicación de Estados Americanos, Washington D.F.

Véase además

• Cuerpo en matemáticas
• Espacio vectorial
• Álgebra sobre un cuerpo conmutativo