Álgebra de Boole

Algebra de Boole
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El álgebra de Boole está definida como un sistema matemático con un conjunto de elementos B y dos operaciones binarias cerradas, multiplicación y suma.
Algebra de Boole. Las operaciones definidas por George Boole, publicadas en el año 1854, constituyen la base del funcionamiento de los circuitos digitales. Boole introdujo un nuevo lenguaje (la lógica proposicional) y una nueva estructura matemática denominada Algebra de Boole, capaz de validar dicho lenguaje...

El álgebra de Boole está definida como un sistema matemático con un conjunto de elementos B y dos operaciones binarias cerradas, multiplicación y suma, que cumplan los siguientes postulados:

1er Postulado

Las operaciones cumplen con la propiedad conmutativa.

                       a+b=b+a           axb=bxa

Desde el punto de vista matemático para el sistema de números binarios de puede demostrar que:

Si damos valores a cada una de las variables: y , obtenemos:a=0 y b=1,  obtenemos;

                      0+1=1+0            0x1=1x0  

                        1=1                     0=0


2do Postulado

Las Operaciones son distributivas entre si.   

    ax(b+c)=axb+axc        y            a+(bxc)=(a+b)x(a+c)

Para demostrar este postulado utilizamos las variables con los valores definidos en la demostración del postulado anterior y asignamos a c valor 0, obtenemos el siguiente resultado:

      0x(1+0)=0x1+0x0                       0+(1x0)=(0+1)x(0+0)

          0=0                                             0=0     

3er Postulado

Las operaciones tienen elementos de identidad diferentes dentro de B,definidos como 0 para la suma y 1 para la multiplicación.

                                           a+0=a
                                           ax1=a

En la práctica este postulado es muy fácil de demostrar, en una suma de dos números si uno de los sumandos es cero, el resultado es el otro de los sumandos. Por otra parte del sistema decimal conocemos que todo número multiplicado por uno es el número, de tal forma que si a=0, el resultado es cero y si es 1 el resultado es 1.

4to Postulado

Para cada elemento a, del conjunto B, existe otro elemento denominado complemento, Form2.jpg también del conjunto B, tal que se cumple: Form3.JPG

Observación

Además del enfoque axiomático que se ha dado, cabe otro punto de vista. Este dice que " Un retículo distributivo con complementos se denomina álgebra de Boole. [1]

Consultas del caso

  1. Gorvátov, V. A. Fundamentos de Matemática Discreta, Editorial MIR, Moscú, 1988, pág. 30

Fuente

  • http://www.espaciodelconocimiento.com
  •  Pollán Santamaría, Tomás. Electrónica Digital. Departamento de Ingeniería Electrónica y Comunicaciones. Universidad de Zaragoza. 2007.
  • Telles, Luis y Pino Pupo, Ezequiel, Elementos Básicos de Electrónica Digital y Microprocesadores. Internet.
     J. Millman and A. Grabel. Microelectronics. McGraw-Hill Electrical and Electronics Series. 1987.
  • 4. Ronald J. Tocci. Sistemas Digitales. Principios y Aplicaciones. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. 1993. ISBN: 968-880-219-0.
  • M..Morris Mano. Diseño Digital. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. 1992. ISBN: 968-880-106-2.
  • John F. Warkerly. Diseño Digital. Principios y Prácticas. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. 1992. ISBN: 968-880-244-1.