Análisis Matemático

Análisis Matemático
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Concepto:Rama de la ciencia matemática que estudia los números reales, los números complejos, los vectores y funciones definidas sobre los mismos.

Análisis Matemático. Se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulación rigurosa del cálculo matemático y estudia conceptos como la continuidad, la integración y la diferenciabilidad de diversas formas y para su análisis matemático incluye diferentes campos. El concepto básico es el de límite tanto para la continuidad,la derivada , la integral definida, las sucesiones y las sumas de series.


Historia

Matemáticos griegos, como Eudoxio de Cnidos y Arquímedes, hicieron un uso informal de los conceptos de límite y convergencia cuando emplearon el Método de exhausción para calcular el área y volumen de regiones y sólidos. De hecho, el Número π|número π fue aproximado usando el método de exhausción.

En la India del siglo XII el matemático Bhashara II concibió elementos del cálculo diferencial, así como el concepto de lo que ahora conocemos como el Teorema de Rolle.

En el siglo XIV, el análisis matemático se origina con Madhava de Sangamagrama, en el Sur de Asia, quien desarrolló ideas fundamentales como la expansión de Serie (matemáticas) infinitas, las series de potencias, series de Taylor, y la aproximación racional de series infinitas.

Series de Taylor

Además desarrolló las series de Taylor de funciones trigonométricas —seno, coseno, tangente—, y estimó la magnitud de los errores de cálculo truncando estas series. También desarrolló fracciones continuas infinitas, integración término a término, y las serie de potencias de pi. Sus discípulos de la Escuela de Kerala continuaron su trabajo hasta el siglo XVI.

Cálculo matemático

El análisis en Europa se origina en el siglo siglo XVII, en el que Newton y Godofredo Leibniz crearon el cálculo diferencial e integral. Ahora sabemos que Newton desarrolló el cálculo infinitesimal unos diez años antes que Leibnitz. Cada uno en forma independiente, mayor acogida tuvo el trabajo de Leibniz por la bondad e eficacia de la simbología concomitante [1]

Este último lo hizo en 1675 y publicó su obra en 1684, aproximadamente veinte años antes de que Newton se decidiera a hacer lo propio con sus trabajos. Newton había comunicado la novedad solamente a algunos pocos colegas suyos y de nada valieron las instigaciones de Halley para que Newton publicara sus trabajos más tempranamente.

Esta actitud sirvió de base para crear una desagradable controversia por el padrinazgo de la idea; discusión que podría haber sido evitada si otro gran matemático, Fermat, no hubiera tenido también la inexplicable costumbre de no hacer públicos sus trabajos.

Geometría analítica y el análisis matemático

En una carta de Fermat a Roberval, fechada el 22 de octubre de 1636, se hallan claramente descritos tanto la geometría analítica como el análisis matemático. En dicho siglo y en el siglo XVIII, ciertos temas sobre el análisis como el cálculo de variaciones, las ecuaciones diferenciales y Ecuaciones en derivadas parciales, el análisis armónico de Fourier y las funciones generadoras fueron desarrolladas principalmente para un trabajo de aplicación. Las técnicas del cálculo fueron aplicadas con éxito en la aproximación de problemas discretos mediante los continuos.

Definición del concepto de función

A todo lo largo del siglo XVIII la definición del concepto de función estuvo sujeta a debate entre los matemáticos. En el siglo XIX, Augustin Louis Cauchy fue el primero que estableció el cálculo sobre unos firmes fundamentos lógicos mediante el uso del concepto de Sucesión de cauchy. También inició la teoría formal del análisis complejo. Simeon Poisson, Joseph Liouville, Jean-Baptiste Joseph Fourier y otros, estudiaron ecuaciones en derivadas parciales y el análisis armónico.

Teoría de la integración

Mediado dicho siglo, Bernhard Riemann introduce su teoría de la integración. En el último tercio del siglo XIX Karl Weierstrass lleva a la aritmetización del análisis, ya que pensaba que el razonamiento geométrico era engañoso por naturaleza, e introduce la definición ε-δ de límite.

Entonces los matemáticos empezaron a preguntarse si no estarían asumiendo la existencia de cierto continuo de Números reales sin probar su existencia. Julius Wilhelm Richard Dedekind entonces construye los números reales mediante las cortaduras de dedekind. Sobre la misma época, los intentos de refinar los teoremas de integración de Riemann llevaron hacia el estudio del «tamaño» de los conjuntos de discontinuidad de funciones reales.

Teoría de medida

También, funciones «monstruos» (funciones continuas en ninguna parte, funciones continuas pero no diferenciables en ningún punto, curva que llena el espacio, (Curva de Peano) comenzaron a surgir. En este contexto Camille Jordan desarrolló su teoría de medida, Georg Cantor lo hizo con lo que ahora se llama Teoría de conjuntos, y René-Louis Baire prueba el teorema de la categoría de Baire.

Análisis funcional

A principios del siglo XX, el cálculo se formaliza usando la teoría de conjuntos. Henri Léon Lebesgue resuelve el problema de la medida, y David Hilbert introduce los espacios de Hilbert para resolver ecuaciones integrales. La idea de espacios vectoriales normados estuvo en ciernes, y en los años 1920 Stefan Banach crea el análisis funcional.

Campos del análisis matemático

El análisis matemático incluye los siguientes campos:

  • Análisis real, esto es, el estudio formalmente axioma riguroso de las derivadas e integrales de las funciones real-valuadas, lo que incluye el estudio de límites, series y medidas.
  • Análisis funcional, que estudia espacios y funciones e introduce conceptos como los de Espacio de Banach y Espacio de Hilbert.
  • Análisis armónico, que trata de las series de Jean-Baptiste Joseph Fourier y de sus abstracciones.
  • Análisis complejo, que estudia funciones que van del plano complejo hacia sí mismo y que son complejo-diferenciables, las funciones holomorfas.
  • Análisis p-ádico, el análisis en el contexto de los Número p-ádico, que difiere de forma interesante y sorprendente de su homólogo real y complejo.
  • Análisis no-estándar, que investiga ciertos números hiperreales y sus funciones y da un tratamiento riguroso de los números infinitesimales y los infinitamente grandes.

Referencias

  1. Historia de las matemáticas de Ribnikov, Editorial Mir, Moscú

Bibliografía

  • Dantzig, Tobías. Este Mundo Fluente. Cap VII, En El Número Lenguaje de la Ciencia. Buenos Aires: Editorial Hobbs Sudamericana S. A, 1971
  • Fermat. Ensayo escrito en 1629 en el que crea la Geometría analítica.