Anillo (álgebra)

Anillo algebraico
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Concepto:Estructura algebraica de un conjunto no vacío y dos operaciones *, @ sobre éste cerradas y asociativas, * es conmutativa y en ella se verifica la existencia del neutro y los inversos para cada elemento del conjunto y juntas * y @ satisfacen la distributividad.

En álgebra, un Anillo es la estructura algebraica conformada por la terna <A,*,@>, donde A es un conjunto no vacío, * y @ son operaciones binarias; y se cumple estrictamente que * es cerrada, asociativa y conmutativa, sobre ella existe el elemento neutro y también los inversos de cada elemento de A. @ es cerrada y asociativa.@ es distributiva respecto a la operación * :Esto es: a@(b *c) = (a @ b) * (a @ c).

En el caso que <A,*,@> sea un anillo y @ sea conmutativa se dice que es un anillo conmutativo. Además, si existe el neutro sobre @ llamado elemento unidad se dice que <A,*,@> es un anillo conmutativo con elemento unidad.

Si <A,*,@> es un anillo y existe el elemento unidad para @ se está en presencia de un anillo con elemento unidad.

Definición

Sea un conjunto A no vacío y las operaciones binarias * y @ que satisfacen los siguientes axiomas:

  1. Clausura de *: Anillo axioma cierre suma.gif. * es cerrada.
  2. Asociatividad de *: Para todos x, y, z de A, (x*y)*z=x*(y*z).
  3. Conmutitividad de *: Para todos x e y en A se cumple x*y=y*x.
  4. Existencia del neutro: Existe uno y solo un elemento e de A tal que para todo x de A se cumple que x*e=e*x=x. e es llamado neutro para * en A.
  5. Existencia de los inversos: Para todo x en A, existe un único elemento x" también en A, que satisface x*x"=x"*x=e. A x" se denomina inverso de x según *.
  6. Clausura de @: Anillo axioma cierre multiplicacion.gif. * es cerrada.
  7. Asociatividad de @*: Para todos x, y, z de A, (x@y)@z=x@(y@z).
  8. Distributividad: Para todos x, y, z de A, x@(y*z)=x@y * x@z.

Se dice que A con las operaciones * y @ es un anillo.

El incumplimiento de cualquiera de los axiomas precedentes inhabilita la condición de anillo.

Apoyándose en otras definiciones del álgebra puede decirse que:

  • Sea A un conjunto no vacío con dos operaciones binarias * y @ es un anillo si y sólo si <A,*> es un grupo abeliano, <A,@> es un monoide y se satisface la ley distributiva x@(y*z)=(x@y)*(x@z) para todos x, y, z de A

Definición alternativa 1

Un conjunto S se denomina anillo, si se han definido sobre él dos operaciones , denominadas adición y multiplicación, siendo ambas conmutativas y asociativas, y vinculadas por la ley distributiva, conllevando además la adición la operación inversa, denominada resta. [1]

Definición alternativa 2

Sea el conjunto R un conjunto no vacío de diversa naturaleza, sea numérica, geométrica, matricial, aplicaciones, con dos operaciones algebraicas independientes, que se llamarán adición, denotada por + y multiplicación, indicada por yuxtaposición, si se cumple lo siguiente:

  1. El conjunto R con la adición es un grupo abeliano.
  2. El conjunto R con la multiplicación es un semigrupo
  3. L a multiplicacción es distributiva respecto de la adicióna(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc,

El conjunto R que cumple las tres condiciones anteriormente señaladas se denomina anillo. R provisto de dos operaciones es un sistema algebraico más complejo que el grupo. [2]

Ejemplos

  1. Los números enteros son un anillo de la forma Enteros anillo.gif.
  2. Sea Mn el conjunto de las matrices cuadradas de orden n, puede decirse que Matriz cuadrada anillo.gif es un anillo.
    1. Para todas las matrices cuadradas de n filas A y B A+B también es una matriz cuadrada de n filas y columnas.
    2. La suma de matrices cuadradas del mismo orden n es asociativa.
    3. La suma de matrices cuadradas del mismo orden n es conmutativa.
    4. Z sub n.gif es el neutro para la suma.
    5. Para toda matriz cuadrada de n filas y columnas Matriz n cuadrada.gif se tiene su inverso dado por Matriz n cuadrada opuesta.gif y según la suma de matrices Cancelacion matrices n cuadradas.gif.
    6. El producto de matrices cuadradas de orden n es cerrado.
    7. El producto de matrices cuadradas de orden n es asociativo.
    8. Para todas matrices cuadradas de orden n A, B, C se cumple A(B+C)=AB+AC.
  3. Todo cuerpo <C,*,@> es también un anillo.
  4. Por tanto los conjuntos numéricos racionales, reales y complejos que son cuerpos con la suma y la multiplicación también se constituyen en anillos sobre esas mismas operaciones.

Otros ejemplos

  • El conjunto P de los números enteros pares, provisto de las usuales operaciones de adición y multiplicación de números enteros es un anillo.
  • El conjunto de polinomios en la indeterminada x con coeficientes de un campo numérico prouesto, inclusive de un anillo numérico dado.
  • Tomemos el conjunto de las funciones , determinadas para todos los valores reales de t y que toman valores reales. En él se definen la suma de las funciones f(t) y h(t) será la función cuyo valor para cualquier t = t0 será igual a la suma de los valores de las funciones dadas, esto es, f(t0) +g(t0); el producto de estas funciones será una función cuyo valor para cualquie t = t0 será igual a f(t0) . g(t0). En este caso se puede comprobar que se cumplen los requisitos para ser anillo; la diferencia de funciones en t = t0 es la función cuyo valor es f(t0) - g(t0).

Fuentes

Referencias

  1. A.G. Kurosch. Curso de álgebra superior. Editorial Mir, Moscú (1981) Impreso en la URSS. Traducido del ruso por Emiliano APARICIO BERNARDO
  2. A. I. Kostrikin Introducción al álgebra Editorial Mir Moscú (1983)