Congruencia (aritmética superior)
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La congruencia, en la aritmética superior o teoría de números, es una relación que nos permite comparar dos números enteros, mediante sus restos al dividirlos por un tercer número entero fijo. Este es diferente a cero y a uno. De preferencia es un número entero positivo.
Sumario
Definición
Sea k un número natural. decimos que c y d son congruentes módulo k si su diferencia c-d es múltiplo de k. para denotar esto usamos la notación
- c := d (mod k)
- Por ejempo: 18 := 14 (mod 4); 44 := 24 (mod 5);
- Evidentemente c:= d (mod k) s.s.s. existe s entero tal que c = d + sk
Teorema
c := d (mod k) si sólo si las divisiones de c y d por k proveen un mismo residuo
- Para este caso, las divisiones de 31 y 47 por 4 dan el mismo residuo, por lo tanto 31 := 47 (mod 4)
Propiedades
- 1. La relación de congruencia es reflexiva: c := c (mod k).
- 2. La relación de congruencia es simétrica: c := d (mod k) → d := c (mod k)
- 3. La relación de congruencia es transitiva:
- c := d (mod k) y d := e (mod k) → c := e (mod k)
- 4. si c := d (mod k) y e := f (mod k) entonces c + e := d + f (mod k), compatible con la suma
- 5. cuando c := d (mod k) y e := f (mod k) entonces c·e := d·f (mod k), compatible con el producto
- 6. si c := d (mod k) entonces si c×l := d×l (mod k) para cualquier l entero, no altera al multiplicar por un factor constante
- 7. supuesto c := d (mod k) entonces si cp := dp (mod k), aquí p es número natural. Compatible con la potenciación de exponente natural
- 8 cuando c := d (mod k) y Q(y) es un polinomio con coeficientes enteros , se deduce que Q(c) := Q(d)
Partición
Como la relación congruencia módulo k es reflexiva, simétrica y transitiva determina una partición en el conjunto Z de los enteros en k clases de equivalencia, de modo que
- Cualquier número entero está en una clase y sólo una.
- Si c := d (mod k) entonces c y d están en la misma clase de equivalencia
- La unión de todas las k clases de equivalencia es igual al conjunto Z de todos los números enteros.
Denominación
las clases de equivalencia que determina una congruencia módulo k, se llaman las clases de restos módulo k
- si consideramos la congruencia módulo 5, hay cinco clases de restos módulo 5: los que dan resto 0, 1, 2, 3 y 4
- Por ejemplo en la clase de resto 1, módulo 5 están los enteros de la forma x = 5k+1
Empleo
- Para marcar las horas del día utilizamos los restos de división entre 24
- Al clasificar los enteros en pares e impares usamos los restos de división entre 2.
- En el estudio de los primos gaussianos nos interesan la congruencia módulo 4.
Fuentes
- Enzo Gentile: Aritmética elemental
- Ózhigova. ¿Qué es la teoría de números?
- http://www.dma.fi.upm.es/recursos/aplicaciones/matematica_discreta/web/aritmetica_modular/congruencias.html
Consúltese además
- Divisibilidad
- Relación de equivalencia