Conjunto de puntos
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Conjuntos de puntos: Cualquier colección de puntos en el plano complejo se denomina un conjunto (bidimensional) de puntos, y cada punto es un elemento del conjunto.En el plano complejo se distinguen varios tipos de conjuntos, principalmente por sus propiedades topológicas.
Concepto de conjuntos
En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosas: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante una serie de operaciones, de manera similar a las operaciones con números. Los conjuntos son un concepto básico, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y la lógica. Por otro lado, son el concepto más fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.
Concepto de puntos
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Ejemplos de conjuntos de puntos
- Vecindades. Una vecindad de radio d de un punto z0 es el conjunto de todos los puntos z tales que |z -z0| < d, donde d es cualquier número real positivo dado. Una vecindad reducida de radio d de un punto z0 , es el conjunto de los puntos z tales que 0 < |z -z0| < d.
- Puntos límite. Un punto z0 se llama un punto límite o punto de acumulación de un conjunto S si cada vecindad d reducida de z0 contiene puntos de S.
- Conjuntos cerrados. Un conjunto S se dice que es cerrado si cada punto límite de S pertenece a S, esto es, si S contiene todos sus puntos de acumulación. Por ejemplo, el conjunto de todos los z tales que |z| £ 1 es un conjunto cerrado.
- Conjuntos acotados. Un conjunto S se dice que es acotado si podemos encontrar una constante M tal que |z| <M para cada punto z de S. Un conjunto ilimitado es un conjunto que no es acotado. Un conjunto que es acotado y cerrado se llama compacto.
- Punto interior, exterior y frontera. Un punto z0 se llama un punto interior de un conjunto S si podemos encontrar una vecindad de z0 cuyos puntos pertenecen todos a S. Si cada vecindad d de z0 contiene puntos pertenecientes a S y también puntos no pertenecientes a S, entonces z0 se llama punto frontera. Si un punto no es interior ni frontera de un conjunto S, entonces es un punto exterior de S.
- Conjuntos abiertos. Un conjunto abierto es un conjunto que consta solamente de puntos interiores. Por ejemplo, el conjunto de puntos z tales que |z| < 1 es un conjunto abierto.
- Conjuntos conexos. Un conjunto abierto S es conexo si cualquier par de puntos del conjunto pueden ser unidos por un camino formado por segmentos de recta (esto se llama un camino poligonal) contenidos es S.
