Elementos de Cálculo Vectorial
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Análisis vectorial. Utilizado en los cursos de Introducción a la Geometría Analítica I y Análisis Matemático II y Análisis Matemático III de la carrera de Licenciatura en Física, así como un elemento de la asignatura en las carreras de Ingeniería.
Adición y Substracción de vectores
Escalares. Algunas cantidades físicas se determinan solamente por sus valores numéricos en correspondencia con un sistema de medición. Así, por ejemplo, el volumen de un cuerpo se determina por un número de unidades cúbicas contenidas en él; la temperatura se determina por el número de grados, la cantidad de electricidad se mide por el número de coulombs ect.
Las cantidades que solamente se determinan por su valor numérico se llaman escalares.
Las escalares pueden ser cantidades positivas o negativas por ejemplo, la temperatura arriba de cero, es positiva, y por debajo de cero es negativa, la electricidad también puede ser positiva o negativa. Pero existen algunos escalares (volumen, masa) que son siempre positivos.
Las escalares son cantidades algebraicas: con ellas se pueden efectuar las operaciones algebraicas, adición, substracción, multiplicación, división ect.
Vectores. Algunas cantidades físicas requieren, para su determinación, además del conocimiento de sus valores numéricos, alguna indicación sobre su dirección y sentido. Por ejemplo, no es suficiente decir que tenemos una fuerza de 5 Kg, sino que debe mencionarse la dirección y el sentido de la acción de la fuerza. Esta observación es aplicable a la velocidad, aceleración ect.
Las magnitudes que, además de su valor numérico, tienen dirección y sentido, se llaman vectoriales.
Los vectores se representan geométricamente en forma de segmentos, terminados en flecha. La flecha señala el sentido de un vector y la longitud del segmento, bajo una escala convenida, da el valor numérico del vector.
Los vectores se representan por a,b,c ( las primeras letras del alfabeto latino en negritas) o por letras latinas con una barra encima en tipos ordinarios, o finalmente por ĀB, donde A es el origen del vector y B su extremo.
El valor numérico de un vector se toma como positivo y será llamado módulo, longitud o valor absoluto y se representará así | a | ó a (en tipos ordinarios), el módulo de un vector es una cantidad escalar positiva.
Observación. Los tipos de letras aceptadas para estas representaciones deben distinguirse cuidadosamente, para no sufrir confusiones.
La recta sobre la que está un vector se llama soporte del vector.
Definición 1.Un vector es igual a cero si su longitud (módulo) es igual a cero.
Tal vector se llama vector cero; en el vector cero el origen del vector y su extremo coinciden, transformando el vector en un punto.
Definición 2. Dos vectores son geométricamente iguales entre sí, si ellos tienen el mismo módulo, son paralelos y están dirigidos en el mismo sentido.
Así por ejemplo, los vectores a y b son iguales geométricamente. (Fig.1)
Los vectores a y c no son geométricamente iguale, pues ellos, aunque tienen el mismo módulo, no tienen la misma dirección así pues, de la igualdad de los módulos de dos vectores no se deriva su igualdad geométrica.
Observación. La igualdad geométrica de dos vectores significa que los vectores significa que los vectores tienen el mismo valor numérico y están dirigidos paralelamente en el mismo sentido. Por tanto, la igualdad geométrica, por su carácter, se distingue esencialmente de la igualdad algebraica ordinaria. No obstante, la igualdad geométrica, como algebraica se representan por el mismo signo = (igual). Para distinguirla, puede hacerse lo siguiente: la igualdad será geométrica o algebraica, dependiendo de que en ambos miembros de la igualdad se tengan cantidades vectoriales ó escalares.
Mencionemos también que la noción de mayor o menor se aplica solamente a escalares, por tanto la desigualdad puede escribirse tan sólo con los módulos de los vectores.
Fuente
- GOLDFAN, I, A. Elementos de Cálculo Vectorial. Editado por Ciencia y Técnica, 1986. Traducción de profesores de la Escuela de Física de la Universidad de la Habana: ISBN 0-08-021680-3
