Error absoluto

El mínimo error absoluto máximo

El mínimo error absoluto máximo. Sea x ^-una aproximación por defecto de x^* y x ⁺ una aproximación por exceso del mismo número x^* . Si x es cualquier número del intervalo [x ^-, x⁺], este número x será una aproximación de x^* cuyo error absoluto máximo puede ser determinado fácilmente.

Determinar el error absoluto

Para ello, considérese la figura 1. En ella se muestran las tres aproximaciones x ^-, x y x ⁺. Como el verdadero valor x^* pertenece al intervalo [x ^-, x ⁺], entonces el error absoluto E(x) no puede exceder a la mayor de las dos distancias (x ⁺ - x) y (x -.x ^-) que determina x en el intervalo.

figura 1

Es decir: E_m (x) = max {x -.x ^-, x⁺ -x}

De la figura resulta obvio que el error absoluto máximo tomará su mínimo valor si se escoge x justo en el centro del intervalo [x ^-, x⁺], en ese caso E_m (x) será exactamente la semiamplitud del intervalo, esto es: S1 se toma

entonces se minimiza el error absoluto máximo, el cual será

Ejemplo

Se sabe que la raíz de una ecuación se encuentra en el intervalo [5,25; 5,37]. Si se torna como aproximación x = 5.3 ¿Cuál es el error absoluto máximo de esta aproximación? ¿Para qué valor de x se obtendría el menor error absoluto máximo`?

Solución:

De acuerdo con lo explicado anterionnente, para x = 5,3 se tiene:

E_m (x) = max {5,3 -5,25; 5,37-5,3}= max {0,05; 0,07} =0,07

El error absoluto máximo se minimiza tomando x en el centro del intervalo [5,25; 5,37], es decir:

Para ese valor de x, el error absoluto máximo será:

Obsérvese que esto no significa que 5,31 esté más próximo a x^* que 5,3. Tan solo puede afirmarse que si se toma x = 5,3 como aproximación, el error absoluto podría llegar hasta 0,07 pero tomando x = 5,31 el error absoluto no puede pasar de 0,06.

Fuentes

MATEMÁTICA NUMERICA II EDICIÓN, Manuel Álvarez, Alfredo Guerra, Rogelio Lau