Fórmula de Bayes

En la teoría de probabilidades , la fórmula de Bayes (o con el nombre Regla de Bayes o teorema de Bayes) es una fórmula que afirma la importancia y uso de las probabilidades condicionales de dos sucesos. Es aplicable en diversas ramas de los estudios científicos , ya que ayuda la inteligencia de la probabilidad de los posibles aspectos causales una vez detectados sus efectos. Esta fórmula se deduce de los axiomas y proposiciones de probabilidades.

Nota histórica

La fórmula de de Bayes debe su nombre al Reverendo británico, Thomas Bayes (1701–1761), quien fue el autor y el primero en mostrar cómo emplear nuevas evidencias para cambiar ciertas creencias. La forma actual, sin simbolismo vigente, es un alcance que nos dejó el científico francés, Pierre Simon Laplace, que lo publicó, en 1812, en su libro "Théorie analytique des probabilités".

Formulación

La fórmula de Bayes relaciona las probabilidades absolutas P(A) y P(B) de dos sucesos A y B y sus respectivas probabilidades condicionales P(A|B) y P(B|A) de A dado B y de este dado A.

Simbólicamente, se expresa mediante la ecuación:

P(A|B)=P(B|A)P(A):P(B)

Generalización

Si la sucesión finita o numerable de sucesos aleatorios A₁, A₂,... forman una partición de Ω, entonces

P(B) = Σ_h P(A_h P(B|A_h, para todo B ε σ-álgebra del espacio de probabilidades. Esta última expresión se llama Fórmula de la probabilidad absoluta

Empleo

Utilizando la generalización podemos calcular la probabilidad de A_j, dada la aparición de B:

P(A_j|B) = {P(A_j) P(B|A_j)}÷ Σ_j P(A_j)P(B|A_j)

Ejemplo

Dos máquinas producen piezas idénticas que se colocan en un transportador común. El rendimiento 1ra. máquina es el doble que el de la 2da. La primera máquina produce un promedio de 60% de piezas de calidad excelente, y la 2da., 84%. La pieza, tomada al azar del transportador, resultó de calidad excelente. Hallar la probabilidad de que esta pieza haya sido producida por 1ra. máquina.

Resolución

• Denotemos con E el suceso, pieza de calidad excelente
• Podemos plantear dos hipótesis:
• M₁, la pieza ha sido producida por la 1ra. máquina, como la 1ra. produce doble de piezas más que la segunda P(M₁) = 2/3;
• M₂, la pieza ha sido producida por la 2da. máquina, P(M₂) = 1/3

• La probabilidad condicional de que la pieza sea de calidad excelente, si ha sido producida por la 1ra. máquina es P(E|M₁) = 0.6
• La probabilidad condicional de que la pieza sea de calidad excelente, si ha sido producida por la 2da. máquina es P(E|M₂) = 0.84

• La probabilidad de que la pieza tomada al azar resulte de calidad excelente , por la fórmula de la probabilidad absoluta es

P(E) = P(M₁)P(E|B₁) + P(M₂)P(E|B₂)

= 2/3×0.6 + 1/3×0.84 = 0.68

• La probabilidad de que se escogió una pieza excelente tomada esté producida por la 1ra. máquina , por la Fórmula de Bayes , resulta:

P(M₁|E) = P(M₁) P(E|M₁)/ P(E) = {2/3 × 0.6}÷0.68 = 10/17

Fuentes

• Luis Santaló: Probabilidad e inferencia estadística, ediciones OEA, Washington D. C. 1975, 2da. edición
• Barry R. James: Probabilidad, Imca, Lima 2004
• R. Moya & G. Saravia: Probabilidad e inferencia estadística