Grupo algebraico cíclico

Grupo algebraico cíclico: En la teoría de grupos, hay casos de que las potencias de un único elemento de un grupo multiplicativo, con la operación del mismo grupo, constituyen un subgrupo. Además puede darse el caso de un elemento cualquiera de un grupo es igual a la potencia de un elemento fijo. En el caso de que G sea un grupo y b es un elemento de G, entonces

J = {b ^m / m es n. entero} es un subgrupo de G y se llama subgrupo cíclico de G.

Definición

Por otra parte, dado un grupo G y c un elemento de él, si

G = {c ^m / m, entero},

entonces c es generador de G y el grupo G = <a> se llama cíclico

Por definición a^-n = (a^-1) para n entero positivo; a ⁰ = e, elemento neurto.

Ejemplos

• En el grupo H de las raíces quintas de 1, se tiene que x = r ^m, donde r= cos2π/5 +isen2π/5
• El grupo conmutativo de orden 6 es cíclico
• El conjunto Z de todos los enteros, es un grupo aditivo cíclico generado por 1
• El conjunto de las raíces cúbicas de 1 = {1, ω, ω² } , siendo ω = cos2π/3 + isen2π/3; siendo ω² = cos4π/3 + isen4π/3, con la multiplicación de los números complejos es un grupo multiplicativo de orden 3. Tanto ω, como ω² son los generadores del grupo.

Proposiciones

• Cualesquiera que sean m y n números enteros

a^maⁿ = a^m+n

(a^m)ⁿ = a^mn

• El orden de un elemento c cualquiera del grupo arbitrario G es el cardinal de <c>
• Los elementos permutados a, b, del grupo arbitrario G, que tienen órdenes k, l primos entre sí , generan en G un subgrupo cíclico de orden kl

<k,l> = <kl>

Fuentes

• Marshall Hall Jr. Teoría de los grupos, Editorial Trillas, México D. F. 1979
• Paul Dubreil Teoría de grupos, Editorial Reverté S. A. Barcelona 1975

Enlaces externos

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