Grupo finito (p-grupo)

Grupo finito(P-Grupo) Concepto: En cada grupo cíclico finito, existe un elemento de orden máximo, necesariamente en su centro, tal que el subgrupo generado por cada elemento diferente del idéntico tiene in-tersección no trivial con el subgrupo generado.

Un Grupo finito p-grupo es un grupo periódico en el que cada elemento tiene como orden una potencia de p: cada elemento es de orden potencia prima. Esto es, para cada elemento g del grupo, existe un entero no negativo n tal que g elevado a la potencia pn es igual al elemento identidad.

En el álgebra moderna, particularmente en la teoría de grupos, entre los grupos finitos se dispone de una amplia diversidad de tipos de grupos, concitan interés, entre otros, los que tienen orden finito, y, especialmente, aquellos cuya cardinalidad la designa un número racional primo.

Definición

Un grupo algebraico G es un p-grupo si es un grupo finito, tal que el orden de cada elemento es una potencia de un número primo p, si es abeliano, se llama p-primario .

Un grupo es un conjunto G dotado de una operación binaria que satisface los siguientes axiomas:

(G1)Operación interna:∀x,y∈G, x∗y∈G

(G2)Propiedad asociativa:∀x,y,z∈G,(x∗y)∗z=x∗(y∗z)

(G3)Existencia de elemento neutro:∃e∈G:∀g∈G, e∗g=g∗e=g

(G4)Existencia de elemento inverso:∀g∈G,∃g−1∈G:g∗g−1=e=g−1∗g

Algunos Ejemplos

• El grupo de orden cíclico pⁿ.

• Cada grupo p conmutativo es isomorfo a uno de estos ejemplos.
• El grupo de módulo de Heisenberg p es el ejemplo más simple de un grupo p no conmutativo .
• El grupo de Grigorchuk es un ejemplo de un grupo infinito de 2.
• El grupo de las raíces quintas de 1.

Propiedades

• El centro Z(P) de un p-grupo no trivial finito es un grupo no trivial.

• En particular, todos los grupos p son nilpotentes.

• Además, si H subgrupo normal de p -Grupo P entonces el cardinal de H con el centro es mayor que 1.

• Esta propiedad se obtiene del teorema del centro, si tenemos en cuenta que cualquier subgrupo de un grupo p es en sí mismo un grupo p y que el subgrupo normal es invariante para las conjugaciones.

• Si el grupo es finito, entonces su orden también es igual a alguna potencia de p (esto se deduce del primer teorema de SyloW ).

• Además, cualquier grupo de orden pⁿ es un grupo p (se colige del teorema de Legendre ).

• Un grupo de orden 4p, aquí p es primo, es soluble.

• No existe ningún grupo de orden p^s l, donde p es un primo y l <p.

• Salvo los casos de grupos de orden primo, no hay grupos simples de orden < 60

• Se tiene que C(p²)≠ C(p)xC(p), aquí p es un primo y C denota un grupo cíclico. Un grupo cíclico de orden p² no puede descomponerse en producto de grupos cíclicos de orden p.

Fuentes

• math.toronto.edu Consultado el 22 de noviembre de 2019.
• alicia.concytec.gob.pe Consultado el 22 de noviembre de 2019.
• jstor.org Consultado el 22 de noviembre.