Inecuación Lineal
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Inecuaciones lineales o de primer grado. Son desigualdades en las que interviene una o más incógnitas, números y uno de los signos de desigualdad (">", "<", "≥", "≤"), las cuales se verifican para determinados valores de las incógnitas. Estas inecuaciones y sistemas de ellas tienen bastante uso en problemas de programas lineal.
Sumario
Ejemplos
- La solución de la inecuación lineal x + 1 > 0 es x > -1.
- La solución de la inecuación lineal x + 2 > 2x es x < 2.
Resolución
Para resolver una inecuación lineal con una incógnita se deben encontrar los valores de la ésta para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es un intervalo. Para encontrarla, se debe simplificar la expresión polinómica del mismo modo que se realiza en las ecuaciones de primer grado, pero al dividir la inecuación por un número negativo debe cambiarse el signo de la desigualdad.
Ejemplos
- Para obtener la solución de la inecuación -2x < 4 se divide la inecuación por el número negativo -2, obteniendo x > -2.
- Para resolver la inecuación -3x +5 > 5x -3 se aíslan los monomios con parte literal a uno de los lados del signo: -3x -5x > -3 -5, para sumar los monomios: -8x > -8, y obtener el intervalo: x < 1.
Representación de la solución
Se puede representar la solución de una inecuación sobre la recta real, indicando los extremos del intervalo. Si un extremo está incluido en el intervalo (cuando los signos son "mayor o igual" o "menor o igual"), se indica con un punto opaco en la recta. Si el extremo no se incluye, se indica con un punto vacío.
Ejemplo
- La representación de la solución x > 7 es
Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numérico y no incluyen al 7.
Sentido geométrico de las inecuaciones de primer grado
Se sabe que las ecuaciones de primer grado representan planos, rectas y puntos. ¿Qué representa en el plano una inecuación de primer grado, o un sistema de inecuaciones de primer grado?
Se dice que dos puntos C y D que no están en un plano ( en una recta dada, en el caso del plano ) se hallan en diferentes lados respecto al plano (recta) si el segmento CD corta el plano (recta). Si están en el mismo lado, CD no corta el plano ( la recta).
Proposición
Los puntos C y D se hallan a un mismo lado respecto al plano ( recta) L = 0 si sólo si los resultados L(C) con L(D) del reemplazo de las coordenadas de estos puntos en la expresión L dan el mismo signo. [1]
Ejemplos
- Sea la ecuación L = 2x - 3y -5 = 0, la ecuación de una recta; se dan los puntos C(3; 4) y D( 5; 6). De las sustituciones resulta L(C) = 2(3) -3(4) -5 < 0 y L(D) = 2(5) - 3(6) - 5 < 0, se ve que tienen el mismo signo, por consiguiente están en el mismo semiplano, a un mismo lado de la recta L; justamente en el semiplano que contiene al (0, 0).
- Se da la ecuación del plano P = x + 2y + 3z + 5 = 0 en el espacio R 3. Dados los puntos M(1, 0, 1) y N(0, -5,1) veamos cómo se hallan estos puntos respecto al plano P. Reemplazando: P(M) = 1 + 2(0) + 3(1) + 5 > 0; P(N) = 1(0) + 2(-5) + 3(1) + 5 < 0 como tienen distinto signo los puntos, M y N están en diferentes semiespacios respecto del plano P y el segmento MN corta al plano P. [2]
