Número algebraico

Número algebraico esta ligado al hallazgo de las raíces de un polinomio con coeficientes racionales. Todo polinomio de grado n > 1, con coeficientes racionales tiene n raíces, como consecuencia del Teorema fundamental del álgebra, pero pueden o no estar en el conjunto Q de los números racionales. Las raíces pueden ser reales o complejas. En general, cualquier polinomio P no constante tiene todas sus raíces en C. Pero no todo número real puede ser raíz de un polinomio. El conjunto R de todos los números reales, aparte de de tener una partición en dos subconjuntos ajenos el de los racionales y el de los irracionales, pues puede subdividirse en dos partes disjuntas: en el conjunto de los números algebraicos y el conjunto de los números trascendentes.

Definición

Sea la ecuación algebraica b₀xⁿ + b₁x^n-1 +...+ b_n-1x+ b_n = 0 donde b_i i = 0,1,..,n son los coeficientes enteros, cualquier número real o complejo α que es raíz de la ecuación propuesta, se llama número algebraico .

Ejemplo.

Los numeros irracionales 3^0.5 y -3^0.5 son números algebraicos, pues son raíces de la ecuación x² - 3 = 0.

Los números complejos 2, 0, 1+i, 1-i son las raíces de la ecuación de cuarto grado (x-1)⁴ = 1

Un número real que no es raíz de ninguna ecuación algebraica de coeficientes racionales se denomina número trascendente

Ejemplo

• π = C÷d, la razón entre la longitud de la circunferencia entre su diámetro.
• Otro número trascendente muy conocido es e, base de los logaritmos naturales, su valor es el límite de expresión (1 +1÷n)^1÷n, cuando n tiende a ∞ .

Propiedades

• Todo número racional es un número algebraico, pues el número racional m/n es raíz de la ecuación algebraica qx - m = 0
• Por reducción al absurdo se deduce que todo número real trascendente es irracional; pues si no fuera irracional, sería racional y como tal, aun número algebraico: lo que es una contradicción.
• La raíz cúbica de un número racional es un número algebraico, pues si cx³ - d = 0, entonces (d/c)^1/3 es número algebraico
• El múltiplo racional de un número algebraico es un número algebraico. Si r está en Q, y α es algebraico, entonces rα es número algebraico.
• El inverso aditivo ( opuesto) de un número algebraico es número algebraico.
• El inverso multiplicativo de un número algebraico también lo es.
• Si a-b^0.5, siendo a y b racionales, es número algebraico su factor racionalizador a+b^0.5 también lo es.
• El conjunto de todos lo números algebraicos es contable, se puede poner en biyección con el conjunto N de todos los números naturales.

Sistemas algebraicos

Grupo abeliano con la adición .

• La suma de dos números algebraicos es número algebraico.
• Existe el 0, número algebraico, tal que b +0 para cualquier b n. algebraico.
• Para cada n. algebraico b, existe su opuesto tal que b +(-b) = 0
• Además se cumple b+(c+d) = (b+c) +d para cualesquiera b,c, d nn. algebraicos/ propiedad asociativa de la adición de nn. aa.
• Se cumple que b+ c= c+b para b y c cualesquiera, se cumple la propiedad conmutativa de la adición.

Anillo conmutativo unitario .

• Por ser grupo aditivo abeliano
• Se cumple la asociatividad del producto de tres nn. aa. b(cd) =(bc)d
• Se cumple la conmutatividad bc = cb para b y c nn. aa. cualesquiera.
• Se satisface la distributividad del producto respecto a suma: c(d+f) =cd+cf
• Existe el elemento 1 ≠ 0, tal que b×1= 1×b = b para todo b número algebraico.

Dominio entero

• Por ser anillo conmutativo unitario.
• b×c = 0 implica b = 0 o bien c = 0. No tiene divisores de cero.

Campo algebraico

• Para cada elemento c ≠ 0 de NA, conjunto de números algebraicos, existe c^-1, llamado inverso multiplicativo tal que c × c^-1 = 1
• Luego NA, por ser anillo conmutativo unitario y que para cada elemento no nulo, hay inverso multiplicativo, es un campo.

Propiedades topológicas

Sea el punto z₀ del plano complejo, identificado por z₀=r₀e^iα, donde r es el radio vector y α el argumento que son fijos.

• El conjunto U = {z en C/ d( z, z₀} < r₁} donde r₁ > 0 y fijo, se llama un entorno de z₀. Se denota D(z₀, r₁), que se puede leer también disco abierto de z₀, radio r₁.
• El punto c, número complejo, pertenece a cualquier entorno suyo.
• En vez de entorno se usan también vecindad , disco abierto.
• El entorno de c es un conjunto abierto con la topología usual de los números complejos.
• Si z está en un entorno de z₀, diremos que z se aproxima a z₀, siempre que la distancia d(z,z₀) → 0.

Proposición

En un entorno de cualquier número complejo existe una infinidad numerable de números algebraicos, similar al caso de que en un intervalo simétrico de un número real, hay una infinidad de números racionales.

Véase también

• Número real
• Número racional
• Inverso aditivo
• Inverso multiplicativo

Bibliografía

• Kurosch Álgebra superior'
• Lehmann Álgebra
• Schaumm Álgebra Superior