Potencia de un punto respecto de la circunferencia

Potencia de un punto.

Circunferencia: Conjunto de todos los puntos del plano situados a la misma distancia de un punto fijo de dicho plano, donde al punto fijo del plano se le llama centro de la circunferencia y la distancia entre el centor y los puntos de la circunferencia se le denomina radio de la circunferencia

Introducción

En geometría elemental, la expresión potencia de un punto se refiere a un resultado que relaciona las longitudes de segmentos de rectas que pasan por dicho punto y cortan a un circunferencia fija.

El término potencia para referirse a este concepto geométrico fue introducida por Jakob Steiner en el artículo de 1826 titulado Einige geometrische Betrachtungen («Unas cuantas observaciones geométricas») aunque el teorema al que hace referencia se encuentra ya en Los Elementos de Euclides

Definición

Se llama potencia de un punto respecto de una circunferencia, al producto de los segmentos de cualquier secante que pase por el punto, comprendidos entre éste y las intersecciones de la secante con la circunferencia.

Si P es un punto del plano de la circunferencia de centro en O y PA una secante cualquiera que pasa por P(fig 1), la potencia p de este punto será: p = PA . PB Si el punto esta en el interior de la circunferencia, con Q, su potencia p' será: p'= QC . QD Cuando el punto esta en la circinferencia, unos de los segmento de secante es nulo y su potencia será por tanto cero.

Nótese que cuando el punto es exterior, como P los segmentos de secante están a un mismo lado de P sobre PA; mientras que si el punto es interior, como Q, los segmentos están a distinto lado del punto: se dice entonces que en el primer caso tienen el mismo sentido y en el segundo caso sentido opuestos, a la potencia cuando el punto es exterior se le llma Positiva y negativa cuando es interior.

Cálculo de la Potencia

Como el valor de la potencia de un punto es independiente de la dirección de la secante que pase por él, consideramos la secante que pasa por el centro de la circunferencia y analisemos los casos: 1er caso: El punto es exterior a la circunferencia. Sea P el punto, d su distancia al centro y r el radio de la circunferencia. fig 2

Tenemos : p = PA . PB = (d + r ) (d – r ) = d² – r²

2do Caso: El punto es interior de la circunferencia (Fig 3): Si P es el punto p = PA . PB = (r + d ) (r –d ) = r² – d² Notese que por ser r² – d² = - (d² – r² ), tomando como valor de la potencia en los dos casos la diferencia d² – r² en el segundo caso es negativa como de había convenido

3er caso: El punto esta en la circunferencia: En este caso, como d = r resulta p= 0

Fuente

Matemática Cuarto curso. Geometría.de Antonio Paz

Enlace externo

http://es.wikipedia.org/wiki/Potencia_de_un_punto

http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/circunf/potencia.htm

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Relaciones_figuras_geometricas_plano/UD8_4APoten.htm

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/potenciapto.htm

http://www.matetam.com/glosario/definicion/potencia-un-punto-respecto-a-una-circunferencia