Símbolo de Jacobi (Teoría de números)
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Símbolo de Jacobi, específicamente en la teoría de números, es una generalización del símbolo de Legendre. Su ventaja radica en que facilita los cálculos en comparación al símbolo de Legendre.
Sumario
Definición
Asumamos que el símbolo (a/P) para números impares mayores que 1, aun sin ser primos, definido del modo que se indica. Sea
- P = p1· p2· ... ·pl, donde (a,P) = 1
- el símbolo de Jacobi lo definimos como
- (a/P) = (a/p1)(a/p2)...(a/pl)
Teorema
Sus propiedades son similares a las del símbolo de Legendre. Y son las que presentamos a continuación:
Propiedad 1.
Si a es congruente con b respecto al módulo P, sus símbolos de Jacobi son iguales, esto es
- (a/P) = (b/P)
Propiedad 2.
- (1/P) = 1
Propiedad 3.
- (-1/P) = (-1) s siendo s = (P-1)÷2
Propiedad 4.
- (a·b·...·k / P) = (a/P)(b/P)...(k/P)
Propiedad 5.
- (2/P) = (-1)s, donde s = (P2-1)÷2
Propiedad 6.
Si L y M son números mayores que 0 e impares y primos relativos, tenemos entonces:
- (L/M) (M/L) = (-1)t, aquí t = (P-1)/2 · (Q-1)/2
Casos ilustrativos
- ¿Es residuo cuadrático 85 de 97? Si se usa el símbolo de Legendre, hay que calcular (5/97) y (17/97); cada uno arrojael vaor de -1, y, por ello, su producto e 1.
- usando el símbolo de Jacobi (85/97) = (97/85)0 (12/85) = (3/85) = (85/3) = (1/3) = 1
- Hallar (171/173). Trabajando con el 'inverso', es igual a (173/171) = (2/171) = -1
Fuentes
- Ózhigova: ¿Qué es la teoría de números? editorial URSS, Moscú - 2004
- Jones: Teoría de los números Editorial F. Trillas S. A. México-1969
