Sistema de numeración base negativa

Una de las tareas que los antiguos humanos tuvieron que realizar fue la de contar. Para ello acudieron a la idea de tener una base, esto es, diez; por decir 10 dedos una persona, 10 personas una familia, 10 familias un subclan, 10 subclanes un clan, etc. En la actualidad se ha abstraído y tenemos unidades simples, decenas, centenas, millares y así sucesivamente. Eso es lo que llamamos sistema de numeración de base diez. La estructura anatómica de sus manos sugirió la base de numeración. Ello se comprueba en la América precolombina, la nación inca usa la base diez. Los mayas usaron la base 20; en Asia, los sumerios la base 60.

Así tenemos que 2 305 significa

5 unidades simples

0 decenas

3 centenas

2 millares, pero en vez de 10 como base podemos usar un entero negativo ≠ -1.

Definición

Diremos que abcd_k = a×k³ + b×k² + c×k + d, con las condiciones

1. k ≤ -2, la base k no puede ser -1

1. a, b, c, d,...,≤ |k|, estos representan los dígitos, enteros positivos, estrictamente menores que el valor absoluto de la base negativa.

Ejemplo

En sistema levoquinario, base -5: 113_(-5 = + 1×(-5)² + 1×(-5) + 3 = 25 - 5 + 3 = 23

En sistema levosenario, base -6: 53_(-6 = 5×(-6) + 3 = -30 + 3 = -27

Afirmación

Todos los números enteros, en un sistema de numeración de base negativa, pueden escritos con enteros no negativos. Estos sistemas de base negativa aportan un cambio dialéctico en la notación de los enteros: desaparece el signo - (menos) de los negativos.

Ejemplos

Vamos a presentar varios casos en el sistema levocuaternario; los dígitos básicos son 0, 1, 2, 3.

1. 5 = 131_(-4 = 1×16 +3×(-4) +1; 6 = 132_(-4  ; 7 = 133_(-4; 8 = 120_(-4
2. -5 = 23_(-4 = 2×(-4) +3
3. 16 = 100_(-4 = 1×16 +0×(-4) +0
4. -16 = 1300_(-4= 1×(-64)+3×(16)+0×4+0
5. -1 = 13_(-4; -2 = 12_(-4; -3=11_(-4; -4 = 10 (como es la escritura normal de cualquiera base).

Fuente

S. B. Gashkov: Matemática computacional recreativa, Editorial URSS, Moscú 2015