Subgrupo
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Subgrupo. En el caso de los números enteros sabemos que constituyen un grupo algebraico con la adición usual.El conjunto Z de los enteros tiene varios subconjuntos, los más conocidos los pares, impares, primos. El objetivo apunta a saber cuáles asumen la estructura de grupo algebraico. De los mencionados sólo los pares con la adición; los impares no, fallan en la propiedad clausurativa, tan igual que los primos. Sin embargo, hay una infinidad de subconjuntos de Z que son grupos algebraicos, cualquier conjunto de todos los múltiplos de un entero fijo mayor que 1, aditivamente forman un grupo.
En Álgebra dícese de la estructura algebraica conformada por el par <G',*>, tales que G' es un subconjunto no vacío de G y * es una operación binaria y <G,*> es un grupo y se cumple que <G',*> es también un grupo.
En el caso que <G',*> sea subgrupo y la operación sea conmutativa dentro de G' se está en presencia de un subgrupo conmutativo o abeliano.
Sumario
Definición.
- Sea un conjunto G y la operación binaria º un grupo algebraico <G,º>, se le llama subgrupo a cualquier subconjunto H, no vacío, de G, si H es grupo algebraico con operación º de G.
Una consecuencia de importancia en los subgrupos es la siguiente:
- El elemento neutro e de G, también sigue siendo elemento neutro de cualquier subgrupo H de G, obviamente con la operación heredada.
- {e} y G son los llamados grupos triviales de G.
Ejemplos.
Ejemplo 1.
El menor de los subgrupos del grupo <G,*> es <{e},*> donde e es el elemento neutro para * en G, es decir el subgrupo trivial.
Ejemplo 2.
Sea el grupo <{0;1;2;3;4},+5> cuya operación +5 (suma módulo 5) viene definida por la tabla:
| +5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
no tiene otro subgrupo que el trivial, porque para el resto de los subconjuntos de G se incumple el axioma del cierre de los grupos.
Ejemplo 3.
Sea el grupo <{e,a,b,c},@> (Grupo Cuarto de Klein) con @ definida según la tabla siguiente:
| @ | e | a | b | c |
|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c |
| a | a | e | c | b |
| b | b | c | e | a |
| c | c | b | a | e |
tiene a <{e},@>, <{e,a},@>, <{e,a,b},@> por subgrupo.
Proposiciones
- Un subconjunto H no vacío del grupo G (notación multiplicativa) es un subgrupo de G s.s.s.
- Si c y d están en H, entonces cd está en H
- c-1 está en H siempre que c está en H.
- Ejemplo
Sean G un grupo algebraico y m un elemento fijo de G, entonces N[m] = {y en G/ ym = my} es un subgrupo de G, llamado el normalizador o centralizador de m en G.[1]
- Si H y K son subgrupos del grupo algebraico K, entonces la intersección de H y K es un subgrupo de G.
- Si H y K son grupos algebraicos finitos, H es subgrupo de K entonces o(H)/o(K), [2]
Bibliografía
- Birkhoff & Mc Lane. Algebra moderna. editorial Teide, Barcelona
- Kostrikin: Introducción al álgebra. Mir Moscú
