Teoría de colas

Teoría de colas Concepto: La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.

La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera. Las colas son frecuentes en nuestra vida cotidiana:

• En un banco
• En un restaurante de comidas rápidas
• Al matricular en la universidad
• Los autos en un lavacar

Teoría de colas:

• Una cola es una línea de espera
• La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares
• El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada

Origen

El origen de la teoría de colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada - salida.

El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que se puede esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes.

La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera. Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un balance económico entre el costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio. La teoría de colas en sí no resuelve este problema, sólo proporciona información para la toma de decisiones.

Modelos matemáticos de la teoría de colas

Estructura básica de los modelos de cola

Para analizar un sistema de colas, se hace necesario tener en cuenta la estructura siguiente:

• Proceso básico de colas

El proceso básico supuesto por la mayor parte de los modelos de colas es el siguiente. Los clientes que requieren un servicio se generan a través del tiempo en una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de colas.

• Fuente de entrada (población potencial)

Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, es decir, el número total de clientes potenciales distintos. Esta población a partir de la cual surgen las unidades que llegan se conoce como población de entrada. Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito (de modo que también se dice que la fuente de entrada es ilimitada o limitada). Como los cálculos son mucho más sencillos para el caso infinito, esta suposición se hace muy seguida aún cuando el tamaño real sea un número fijo relativamente grande, y deberá tomarse como una suposición implícita en cualquier modelo que no establezca otra cosa. El caso finito es más difícil analíticamente, pues el número de clientes en la cola afecta el número potencial de clientes fuera del sistema en cualquier tiempo; pero debe hacerse esta suposición finita si la tasa a la que la fuente de entrada genera clientes nuevos queda afectada en forma significativa por el número de clientes en el sistema de líneas de espera. También se debe especificar el patrón estadístico mediante el cual se generan los clientes a través del tiempo. La suposición normal es que se generan de acuerdo a un proceso Poisson, es decir, el número de clientes que llegan hasta un tiempo específico tiene una distribución Poisson. En el caso estudiado corresponde a aquel cuyas llegadas al sistema ocurren de manera aleatoria pero con cierta tasa media fija y sin importar cuántos clientes están ya ahí (por lo que el tamaño de la fuente de entrada es infinito). Una suposición equivalente es que la distribución de probabilidad del tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas es exponencial. Se hace referencia al tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas como tiempo entre llegadas.

Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas: Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo (conocido como ciclos de tiempo). Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilístico se describen mediante una distribución de probabilidad.

En el caso probabilístico, la determinación de la distribución real, a menudo, resulta difícil. Sin embargo, una distribución, la distribución exponencial, ha probado ser confiable en muchos de los problemas prácticos.

• Cola

Una cola se caracteriza por el número máximo permisible de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas, según si este número es finito o infinito. La suposición de una cola infinita es la estándar para la mayor parte de los modelos, incluso en situaciones en las que de hecho existe una cota superior (relativamente grande) sobre el número permitido de clientes, ya que manejar una cota así puede ser un factor complicado para el análisis. Los sistemas de colas en los que la cota superior es tan pequeña que se llega a ella con cierta frecuencia, necesitan suponer una cola finita.

• Disciplina de la cola

La disciplina de la cola es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son: La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado. La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último. La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria.

• Mecanismo de servicio

El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales paralelos de servicio, llamados servidores. Si existe más de una instalación de servicio, puede ser que sirva al cliente a través de una secuencia de ellas (canales de servicio en serie). En una instalación dada, el cliente entra en uno de estos canales y el servidor le presta el servicio completo. Un modelo de colas debe especificar el arreglo de las instalaciones y el número de servidores (canales paralelos) en cada una. Los modelos más elementales suponen una instalación, ya sea con un servidor o con un número finito de servidores.

El tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación en una instalación se llama tiempo de servicio (o duración del servicio). Un modelo de un sistema de colas determinado debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor (y tal vez para los distintos tipos de clientes), aunque es común suponer la misma distribución para todos los servidores.

Como en el caso del proceso de llegada, este tiempo puede ser determinístico o probabilístico. Con un tiempo de servicio determinístico, cada cliente requiere precisamente de la misma cantidad conocida de tiempo para ser atendido. Con un tiempo de servicio probabilístico, cada cliente requiere una cantidad distinta e incierta de tiempo de servicio. Los tiempos de servicio probabilísticos se describen matemáticamente mediante una distribución de probabilidad. En la práctica resulta difícil determinar cuál es la distribución real, sin embargo, una distribución que ha resultado confiable en muchas aplicaciones, es la distribución exponencial.

• Un proceso de colas elemental

La teoría de colas se aplica a muchos tipos diferentes de situaciones. El tipo que más prevalece es el siguiente: una sola línea de espera (que puede estar vacía en ciertos lapsos de tiempos) se forma frente a una instalación de servicio, dentro de la cual se encuentran uno o más servidores. Cada cliente generado por una fuente de entrada recibe servicio de uno de los servidores, quizá después de esperar un poco en la cola (línea de espera).

Papel de la distribución exponencial

Las características operativas de los sistemas de colas están determinadas en gran parte por dos propiedades estadísticas: la distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas y la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio. Para los sistemas de colas reales, estas distribuciones pueden tomar casi cualquier forma (la única restricción es que no pueden ocurrir valores negativos). Sin embargo, para formular un modelo de teoría de colas como una representación del sistema real, es necesario especificar la forma supuesta de cada una de estas distribuciones. Para que sea útil, la forma supuesta debe ser lo suficientemente realista como para que el modelo proporcione predicciones razonables y al mismo tiempo debe ser lo suficientemente sencilla para que sea matemáticamente manejable. Con estas consideraciones en mente, la distribución de probabilidad más importante en la teoría de colas es la distribución exponencial.

Medidas de rendimiento para evaluar un sistema de colas

Existen muchas medidas de rendimiento diferentes que se utilizan para evaluar un sistema de colas en estado estable, algunas de las cuales se describen en la presente sección. Para diseñar y poner en operación un sistema de colas, por lo general, los administradores se preocupan por el nivel de servicio que recibe un cliente, así como el uso apropiado de las instalaciones de servicio de la empresa. Algunas de las medidas que se utilizan para evaluar el rendimiento surgen de hacerse un conjunto de preguntas como se detalla a continuación.

Preguntas relacionadas con el tiempo, centradas en el cliente, como:
a. ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente recién llegado tiene que esperar en la fila antes de ser atendido? La medida de rendimiento asociada es el tiempo promedio de espera, representado con Wq.
b. ¿Cuál es el tiempo que un cliente invierte en el sistema entero, incluyendo el tiempo de espera y el de servicio? La medida de rendimiento asociada es el tiempo promedio en el sistema, denotado con W.
Preguntas cuantitativas relacionadas al número de cliente, como:
a. En promedio ¿cuántos clientes están esperando en la cola para ser atendidos? La medida de rendimiento asociada es la longitud media de la cola, representada con Lq.
b. ¿Cuál es el número promedio de clientes en el sistema? La medida de rendimiento asociada es el número medio en el sistema, representado con L.
Preguntas probabilísticas que implican tanto a los clientes como a los servidores, por ejemplo:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar a ser atendido? La medida de rendimiento asociada es la probabilidad de bloqueo, que se representa por, pw.
b. En cualquier tiempo particular, ¿cuál es la probabilidad de que un servidor esté ocupado? La medida de rendimiento asociada es la utilización, denotada con U. Esta medida indica también la fracción de tiempo que un servidor está ocupado.
c. ¿Cuál es la probabilidad de que existan n clientes en el sistema? La medida de rendimiento asociada se obtiene calculando la probabilidad Po de que no haya clientes en el sistema, la probabilidad Pi de que haya un cliente en el sistema, y así sucesivamente. Esto tiene como resultado la distribución de probabilidad de estado, representada por Pn, n = 0,1…
d. Si el espacio de espera es finito, ¿Cuál es la probabilidad de que la cola esté llena y que un cliente que llega no sea atendido? La medida de rendimiento de trabajo se necesitan para lograr mayor efectividad asociada es la probabilidad de negación del servicio, representada por Pd.

Preguntas relacionadas con los costos, como:
a. ¿Cuál es el costo por unidad de tiempo por operar el sistema?
b. ¿Cuántas estaciones en los costos?
El cálculo específico de estas medidas de rendimiento depende de la clase de sistema de colas. Algunas de estas medidas están relacionadas entre sí. Conocer el valor de una medida le permite encontrar el valor de una medida relacionada.

Diferentes modelos que se utilizan para la resolución de problemas

Cada modelo de los que a continuación se analizan se describe en términos de la notación extendida por Kendall, como la deducción de pn es completamente independiente de la disciplina de la línea de espera, es apropiado usar el símbolo DG (disciplina general) en la notación de Kendall.

Modelos

MODELOS DE COLA INFINITA CON ENTRADAS POISSON

1. Modelo de estación única: M/M/1:∞, FIFO
2. Modelo de estación múltiple: M/M/S:∞, FIFO

MODELOS DE COLA FINITA CON ENTRADAS POISSON

3. Modelo de Estación Única: M/M/1: CF, FIFO
4. Modelo de estación múltiple: M/M/S: CF, FIFO

MODELOS DE FUENTE LIMITADA CON ENTRADAS POISSON

5. Modelo de Estación Única: M/M/1: FL, FIFO
6. Modelo de estación múltiple: M / M / S: FL, FIFO

Análisis económico de los modelos de cola

Todo sistema de servicio requiere de un análisis económico para poder tomar la decisión más correcta. Dicho análisis incluye dos elementos:
1. El nivel del servicio.
2. El tiempo de espera de las unidades que acuden a recibir servicio.
Con el objetivo de reducir el costo de servicio, se recomienda un mínimo nivel de este, mientras que al no ser deseables largos tiempos de espera, es aconsejable un alto nivel de dicho servicio, por lo que se hace necesaria la búsqueda de una solución que satisfaga ambas condiciones.
Donde:
E(CS): valor esperado del costo del servicio.
E(CE): valor esperado del costo de espera.
E(CT): valor esperado del costo total.

Aplicaciones de la teoría de colas

La teoría de colas ha gozado de un lugar sobresaliente entre las técnicas analíticas modernas de investigación de operaciones, pero hasta aquí el enfoque se ha limitado a la formulación de una teoría matemática descriptiva. Aquí pues, no concierne a la teoría de colas alcanzar la meta de investigación de operaciones: la toma de decisiones óptimas. En lugar de ello obtiene información sobre el comportamiento del sistema de colas.

Fuentes

• Álvarez – Buylla Valle, Mercedes (1987). Modelos Económico – Matemáticos II. Tomo I, Capítulo 3 “Sistemas de servicio” pp. 225 – 377, La Habana, Editora ISPJAE.
• Arbonas, M. E. (1989). Optimización Industrial (I). Distribución de los recursos. Colección Productica No. 26. Marcombo S.A.
• Arbonas, M. E. (1989). Optimización Industrial (II). Programación de recursos. Colección Productica No. 29. Marcombo S.A.
• Hillier, F.S y Lieberman, G.J. (2007). Introducción a la Investigación de Operaciones. Tomo III, Capítulo 15 “Teoría de colas” pp. 661 – 713, Quinta Edición, La Habana, Editorial Félix Varela.
• Kaufmann, A. (1981). Métodos y Modelos de la Investigación de Operaciones. Capítulo 3 “Fenómenos de Espera” pp. 105 –183, Cuarta Edición, La Habana, Editorial Pueblo y Educación.
• http://www.auladeeconomia.com/L%EDneas%20de%20Espera.ppt
• http://personales.upv.es/jpgarcia/LinkedDocuments/Teoriadecolasdoc.pdf
• http://www.doi.icai.upcomillas.es/simio/transpa/t_qt_ar.pdf
• http://html.rincondelvago.com/teoria-de-colas.html