Teorema de Bolzano
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El teorema de Bolzano es un teorema sobre funciones continuas definidas sobre un intervalo, el cual plantea que si una función f(x) es continua en [a,b] y f(a) y f(b) son de distinto signo, existe por lo menos un punto entre a y b para el cual f(c)=0.
Sumario
Interpretación geométrica
Geométricamente, el teorema establece que si dos puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) de la gráfica de una función continua están situados en diferentes lados del eje x, entonces la gráfica intersecta al eje en al menos un punto entre a y b.
El teorema como tal no especifica el número de puntos, solo afirma que como mínimo existe uno.
Demostración
Supongamos que f(a)<0 y f(b)>0. (La demostración sería análoga si supusiéramos f(a)>0 y f(b)<0.)
Consideremos el punto medio de [a,b]: (a+b)/2.
Si f((a+b)/2)=0 queda demostrado el teorema. Sino, f será positiva o negativa en (a+b)/2.
Tomemos una de las mitades del intervalo [a,b] donde la función sea negativa en un extremo y positiva en el otro. Llamemos a1 y b1 a los extremos de este intervalo. Ahora dividamos [a1,b1] a la mitad. Si f no vale cero en el punto medio, será positiva o negativa. Tomemos la mitad donde f tiene distinto signo en cada extremo, y llamemos a estos puntos a2 y b2.
Si continuamos de esta manera, obtenemos una sucesión de intervalos
[a,b], [a1,b1], [a2,b2], etc., tales que a <= a1 <= a2 <= ... <= an y b >= b1 >= b2 >= ... >= bn.
Es decir,
1) Los ai forman una sucesión creciente y los bi forman una sucesión decreciente.
2) Los ai son siempre menores que los bi.
Veamos cuál es el limn->+inf bn - an.
bn - an es la longitud del intervalo [an,bn].
La longitud del intervalo [a1,b1] es (b - a)/2, la mitad de la longitud de [a,b] que es b - a.
La longitud del intervalo [a2,b2] es (b - a)/22, la mitad de la longitud de [a1,b1] que es (b - a)/2.
Y siguiendo de esta manera, la longitud del intervalo [an,bn] es (b - a)/2n.
De modo que,
3) limn->+inf bn - an = limn->+inf (b - a)/2n = 0.
1), 2) y 3) son las condiciones de la definición de PSMC:
an es creciente, bn es decreciente
Para todo n natural an < bn
Para todo ε>0 existe h natural / bh - ah < ε (que es lo mismo que limn->+inf bn - an = 0.)
Todo PSMC tiene la propiedad de definir un número frontera entre ambas sucesiones.
((an),(bn)) es un PSMC => existe c / para todo n an <= c <= bn, lim an = c- y lim bn = c+.
lim an = c- significa que para todo δ>0 existe n1 / para todo n>=n1 c - δ < an < c.
lim bn = c+ significa que para todo δ>0 existe n2 / para todo n>=n2 c < bn < c + δ.
O sea que tomando el mayor entre n1 y n2, llamémosle n3, se cumplen ambas cosas.
Es decir, para todo δ>0 existe n3 / para todo n >= n3 c-δ < [an,bn] < c+δ.
Esto significa que, para cualquier entorno de c que consideremos, existe un intervalo [an,bn] contenido en dicho entorno.
Por otro lado, f es continua en [a,b] por hipótesis. Por lo tanto es continua en c. Por definición de continuidad, limx->c f(x)=f(c).
Si f(c)<0, por teo. de conservación del signo existe un entorno de c donde f(x) es negativa.
Dentro de este entorno, existe un intervalo [an,bn], donde f(an) es de distinto signo que f(bn). Esto es una contradicción, por lo tanto f(c) no puede ser negativo.
Si f(c)>0, por teorema de conservación del signo existe un entorno de c donde f(x) es positiva.
Pero, otra vez, dentro de ese entorno existe un intervalo [an,bn] tal que f(an) es de distinto signo que f(bn).
Por lo tanto, no existe otra posibilidad: f(c)=0.
Aplicación
El teorema de Bolzano permite la localización de las raíces de una función continua aplicando el método bisección, el cual es un método de cálculo numérico, para lo que divide en dos subintervalos.
Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio c=(a+b)/2.Si si “c”igual a cero, es la raíz buscada. En caso contrario, se analiza el signo de f(c) para ver si es opuesto con f(a) o con f(b) . Se toma el intervalo [a, c] ó [c, b] en el que ocurre un cambio de signo. Se repite el proceso sucesivamente para intervalo cada vez más pequeño, hasta encontrar o aproximarse el valor deseado.
Ejemplo
Comprobar que la ecuación x3 + x − 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [0,1].
Consideramos la función f(x) = x3 + x − 1, que es continua en [0,1] por ser polinómica. Estudiamos el signo en los extremos del intervalo:
f(0) = −1 < 0
f(1) = 1 > 0
Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe un c en el inervalo abierto (0; 1) tal que f(c) = 0. Lo que demuestra que hay una raíz real en este intervalo abierto.
Bibliografía
- Bronshtein I, Semendiaev K. Manual de Matemática para Ingenieros y Estudiantes. Editorial MIR. Moscú. 1988.
- Sydsaeter K, Hammond P J. Matemática para el Análisis Económico. Editorial Félix Varela. La Habana. 2005
- Piskunov, N. Cálculo Diferencial e Integral. Editorial MIR. Moscú. 1980.
- Ilín V,Pozniak E. Análisis Matemático. En tres tomos. Editorial MIR. Moscú. 1991.
