Teorema de Hahn-Banach
El Teorema de Hahn - Banach , en análisis funcional especialmente, es una herramienta usada en el problema de la prolongación de un funcional lineal, hecho que sucede frecuentemente. Y si eso es el caso, la proposición siguiente es un instrumento de valiosa ayuda.
Sumario
Teorema y corolarios
Texto de la proposición
Todo funcional lineal acotado h definido en una variedad lineal L0 de un espacio lineal normado L puede ser prolongado en todo el espacio sin incidir en el crecimiento de la norma de h.
Para la aclaración del teorema presentamos un:
Lema
Cualquier funcional lineal acotado h definido en una variedad lineal L0, subconjunto de L y siempre densa en L, se prolonga continuamente de manera única a todo el espacio sin que la norma de h aumente.
En la práctica sus corolarios del teorema son más usados que la misma proposición:
Corolarios
- Si v es un elemento no nulo de L, entonces hay un funcional lineal h tal que ||h|| = 1 y h(v) = ||v||
Definamos en L0 = {x: x = tv, t es real} el funcional h(x) = t||v|| aquí x = tv. Según enunciado, la prolongación de este funcional a todo el espacio L es el funcional requerido.
- Por cualquier punto v de un disco unitario D se puede trazar un plano de apoyo a D.
- Si L0 subconjunto de L es una varieda lineal y v ≠ 0, entonces hay un funcional lineal h tal que h(x) = 0 para cualquier x de L0, h(v) = 1, además
- ||h|| = 1÷inf || x-v|| x esté en L0.
- dos elementos distintos v, w de un espacio localmente convexo siempre pueden ser separados mediante un funcional lineal, vale decir, hay un funcional lineal h tal que
- h(v) ≠ h(w)
Fuentes
- V. Boss: Análisis funcional Editorial URSS, Moscú 2011
- G. D. Lugovaia: Análisis funcional (curso avanzado) Editorial URSS, Moscú 2011
- http://area.us.es/gfqm127/dir_php/docencia/archivos/1229429425-AF-Tema%203-Teoria.pdf
Véase además
- Funcional
- Espacio normado
- Norma
Enlace externo
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