Unidad imaginaria

Unidad imaginaria sirve para construir los números complejos, campo algebraico donde es posible resolver toda ecuación algebraica de coeficientes racionales . La imposibilidad de resolver la ecuación x² + 6x + 10 = 0 → (x+3)² = -1, supondría conocer la raíz cuadrada de -1. Ello exige definir una nueva entidad matemática:

La unidad imaginaria i. Y se conviene que i² + 1 = 0. De lo anterior se desprende que las raíces cuadradas de -1 son i , -i.

Otras posibilidades

Caben otras salidas. Puede formularse el concepto de «número complejo generalizado».

Sin embargo, dada la ecuación x² + 2x +2 = 0, se plantea la existencia de un "número no real" ε, tal que ε² + 2ε +2 = 0, construyéndose un nuevo conjunto de «números planos», de la forma a +bε, donde a y b son números reales.

Cardano, al resolver ecuaciones cúbicas, tuvo que recurrir a nuevos objetos matemáticos y así surgen los llamados «números complejos» de la forma x + yi donde x, y son números reales , i es la solución no real de x² + 1 = 0.

Grupo finito con i

Las raíces de la ecuación algebraica de cuarto grado x⁴ -1 = 0 determinan el conjunto H = {1, -1, i, -i}, que es un grupo multiplicativo cíclico de orden 4, con dos generadores i, -i. Estas dos últimas raíces de la ecuación, se denominan raíces primitivas de la unidad. Los elementos del conjunto H representan los vértices de un cuadrado, ubicados en la circunferencia unitaria de centro en el origen de coordenadas y radio igual a 1.

Aspecto topológico

1. i está en la frontera del conjunto C= {z ε C/ |z | < 1}
2. i es un punto de acumulación del conjunto D = { z ε C/ |z | ≥ 1 }

Geometría

como vector o punto del plano i = (0, 1).

Al multiplicar el número complejo real (a,0) por i es ai = (0,a), geométricamente es una rotación antihoraria de 90º; y el producto a(-i) = (0,-a) es una rotación antihoraria de 270º.

Al multiplicar el número complejo z = (a, b) por i es (a,b)i = (-b, a) es una rotación antihoraria de z en 90º.

Al multiplicar el número complejo z =(a,b) (-i) = =(a,b)×(-1)× i = (b,-a) es una rotación antihoraria de 180º, seguida de una rotación antihoraria de 90º.

Consúltese además

• Número complejo
• Teorema fundamental del álgebra
• Conjunto (matemáticas)
• Ecuación algebraica