Saltar a: navegación, buscar

Constante Pi

Constante Pi
Información sobre la plantilla
Pi3.14159.jpg
Constante matemática

Constante Pi(π). Constante que relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro π = L/D. Este no es un número exacto sino que es de los llamados irracionales, tiene infinitas cifras decimales.

Historia

Ya en la antigüedad, se insinuó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su radio pero tan sólo desde el siglo XVII la correlación se convirtió en un dígito y fue identificado con el nombre "Pi" (de periphereia, denominación que los griegos daban al perímetro de un círculo), A lo largo de la historia, a este ilustre guarismo se le han asignado diversas cantidades. En la Biblia aparece con el valor 3, en Babilonia 3 1/8; los egipcios le otorgaban 4(8/9)2; y en China 3,1724.

Sin embargo fue en Grecia donde la correspondencia entre el radio y la longitud de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los más insignes enigmas a resolver. Un coetáneo de Sócrates, Antiphon, inscribió en el círculo un cuadrado, luego un octógono e ideó multiplicar la cantidad de lados hasta el momento en que el polígono obtenido ajustara casi con el anillo. Arquímedes reúne y amplía estos resultados. Prueba que el área de un círculo es el la mitad del producto de su radio por la circunferencia y que la relación del perímetro al diámetro está comprendida entre 3,14084 y 3,14285.

Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones y popularizada por el matemático Leonard Euler en su obra "Introducción al cálculo infinitesimal" de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludoph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes.

El valor computado de esta constante ha sido conocido con diferentes precisiones en el curso de la historia, de esta forma en una de las referencias documentadas más antiguas como la Biblia aparece de forma indirecta asociada con el número natural 3 y en Mesopotamia los matemáticos la empleaban como 3 y una fracción añadida de 1/8. Euclides precisa en sus Elementos los pasos al límite necesarios e investiga un sistema consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares y en demostrar la convergencia del procedimiento. El primer cálculo teórico parece haber sido llevado a cabo por Arquímedes, cosa que hoy desconoce mucha gente, que π no es igual a 22 / 7, y no hizo ninguna afirmación de haber descubierto el valor exacto. Si tomamos su mejor aproximación como la media de estos dos límites obtenemos 3,1418, un error de aproximadamente 0,0002.

Es importante darse cuenta de que el uso de la trigonometría aquí no es histórico: Arquímedes no tenía las ventajas de una notación algebraica y trigonométrica y tuvo que derivar de forma puramente geométrica. Además no tuvo siquiera la ventaja de nuestra notación decimal para los números, por lo que el cálculo no fue de ninguna forma una tarea trivial. Por tanto fue una fabulosa proeza de imaginación y cálculo y la maravilla no es que parase en polígonos de 96 lados, sino que fue más lejos.

Personas que continuaron la aproximación

Nombre
Año
Precicisión
Ptolomeo
150 A N E
3,1416
Zu Chongzhi
430-501 A N E
355 / 113
al-Khwarizmi
800
3,1416
al-Kashi1
430
14 dígitos
Viète
1540 - 1603
9 posiciones
Roomen
1561 - 1615
17 posiciones
Van Ceulen
1600
17 posiciones

Excepto para Zu Chongzhi, sobre quién no sabemos prácticamente nada y que es muy improbable que conociese el trabajo de Arquímedes, no se produjo ningún avance teórico en estas mejoras, solo mayor energía en el cálculo. Nota como, al igual que en todas las cuestiones científicas, el liderazgo pasó de Europa hacia el Este desde el milenio que va del 400 al 1400 .

En el siglo II., Ptolomeo utiliza polígonos de hasta 720 lados y una circunferencia de 60 unidades de radio para aproximarse un poco más, y da el valor 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 = 3'14166.

Época moderna

Conforme se han desarrollado las matemáticas, en sus diversas ramas, álgebra, cálculo, etc., se han ido construyendo distintos artificios que permiten afinar cada vez más su valor. Uno de los casos más curiosos de la historia fue el del matemático inglés William Shanks, quien luego de un trabajo que le demandó casi veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desgraciadamente, Shanks incurrió en un error en el 528º decimal, y a partir de éste están todos mal.

Ferguson, en 1947, obtuvo un valor con 808 decimales.

Usando el computador Pegasus, en 1957, se logró una cifra con 7.840 decimales.

Más tarde, en 1961, usando un computador IBM 7090, se logró llegar a 100.000 decimales.

Luego, en 1967, con un CDC 6600, se llegó a 500.000 decimales.

En 1987, con un Cray-2, se obtuvo una cifra con 100.000.000 decimales para Pi..

Y finalmente, en 1995, en la Universidad de Tokio, se llegó a un valor de pi de 3,14… y se le agregan 4.294.960.000 de decimales.

Distintas Formas de Determinar Π

Método de Buffon

En el siglo XVIII Georges Louis Leclerc, Conde de Buffon, naturalista francés, ideó un ingenioso método. llamado "La aguja de Buffon" que relaciona el número pi con el lanzamiento de una aguja sobre una superficie rayada. Buffon demostró que si lanzamos, al azar, una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D (se puede repetir el cálculo utilizando un suelo de baldosas y una aguja), la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: L * π / 2D . Con un gran número de tiradas, se consigue un valor aceptable de Π

Conforme se han desarrollado las matemáticas, en sus diversas ramas, álgebra, cálculo, etc, se han ido construyendo distintos artificios que permiten afinar cada vez más su valor.

Método del Péndulo

Utilizando el periodo de un péndulo para realizar una estimación

Métodos Estadísticos

El sistema que se propone es parecido al del conde de Buffon, basado en la probabilidad. Supongamos una circunferencia de radio 1, inscrito en un cuadrado Si creamos aleatoriamente pares de números (x,y) comprendidos entre cero y uno, si 1 = x2 + y2 el punto generado por x e y estará dentro del círculo mientras que si x2 + y2 diferente de 1 los puntos estarán lógicamente en el cuadrado pero fuera del redondel. La probabilidad de que los puntos se hallen dentro de la circunferencia estará dada por la relación entre el área del círculo y la superficie del cuadrado. Con una serie significativa de repeticiones la proporción entre los que caen en el círculo y fuera de él tiende a Π/4, y así obtenemos el valor de Π de una forma estadística.

Mediante la Informática

Se ha creado un programa que genera al azar los pares de dígitos. Concretamente crea 10 millones de puntos y determina el número Π cada millón de tiradas. Al ser una operación estadística, a veces nos acercamos al valor correcto (conocido con miles de cifras) y otras nos alejamos. Con esta técnica determinamos 3 decimales correctos obteniendo un error cercano al 0.02%.

Fuentes