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Función Cúbica

Función Cúbica
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Funcion-cubica.jpg
Concepto:En Matemáticas una función cúbica se define como el polinomio de tercer grado

Función Cúbica. Es generalmente utilizada para relacionar volúmenes en determinados espacio o tiempo. Otro ejemplo es el relacionar el crecimiento de un feto en gestación con el hecho de relacionar su distancia de los pies a la cabeza se puede determinar la semanas de gestación del feto. También el hecho de relacionar los vientos o la energía eólica con respecto a la intensidad de estos y su tiempo de duración. Se utiliza más en el campo de la economía y de la física.

Definición

La función cúbica se define como el polinomio de tercer grado; el cual se expresa de la forma: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d con a ≠ 0, a, b, c y d Œ IR

Función Cúbica

Un ejemplo de función cúbica es: y = f(x) = x3, es la llamada: parábola cúbica. Gráfica de la función cúbica.JPG

Propiedades

  • El dominio de la función es la recta real es decir (-α : α)
  • El recorrido de la función es decir la imagen es la recta real.
  • La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x).
  • La función es continua en todo su dominio.
  • La función es siempre creciente.
  • La función no tiene asintotas.
  • La función tiene un punto de corte con el eje Y.
  • La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con el eje X.

Ejemplos

Grafique y analice las propiedades de la siguientes funciones

a) f(x) = 2x3 + 3x2 - 12x

Propiedades

  • Dominio: El conjunto de los Reales
  • Imagen: El conjunto de los Reales
  • Ceros de la función:

Se iguala la función a cero

2x3 + 3x2 - 12x = 0 x( 2x2 + 3x - 12) = 0 Extrayendo factor común x = 0 ( 2x2 + 3x + 12)= 0 Igualando a cero ambos factores y realizar la descomposición.

  • Simetría: Demostrar que cumple f(-x)=-f(x).

Para demostrar la simetría analíticamente de selecciona un número cualesquiera y su opuesto ejemplo 1 y -1 Demostrar que f(-1) = - f(1)

f(-1) = 2(-1)3 + 12 . (-1)2 + 2. (-1 )

      =  2.(-1)  + 12 . 1  - 2   
      =  -2  + 12  -  2  
      =  10 - 2 
      =  8 

f(1) = 2(1)3 + 12 . (1)2 + 2. (1 )

      =    2.(1)  -  12 . 1  +  2 
      =    2  - 12 + 2 
      =   -10 + 2  
      =  -8 

Como f(-1) = - f(1) por tanto la función es simétrica.

  • Continuidad: La función es continua en todo su dominio pues gráficamente se puede observar que no tiene ningún punto de discontinuidad.
  • La función no tiene asuntotas.
  • Para determinar los puntos donde la función corta el eje de la y

Se determina el valor de la función para x=0 f(0) = 2. 03 + 3. 02 - 12. .0 Obteniendo y= 0 y la función corta el eje de la y en el punto (0:0)

b) F(x) = -x3 +8

Ejercicio1b.jpg

Ejercicios

Grafique y analice las siguientes funciones cúbicas.

1) f(x) = x3 + 12x + 2

2) f(x) = -x3 + 3x2 + 9x

3) f(x) = 3x2 + x3 - 1

Véase también

Fuente

  • Colectivo de autores. Matemática 8vo grado. Editorial Pueblo y Educación. 1990.
  • Libro de texto Matemática 10mo grado. Editorial Pueblo y Educación. 1990.
  • Cuaderno Complementario. Matemática 9 no grado. Editorial Pueblo y Educación. 2005.