Paraboloide hiperbólico

De EcuRed
Paraboloide Hiperbólico
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Concepto:También se lo denomina silla de montar o paso de montaña por su gráfica. Tiene la peculiaridad de contener rectas en su superficie.

Paraboloide Hiperbólico. Es una superficie doblemente reglada por lo que se puede construir a partir de rectas. Es una de las más utilizadas en obras de Antoni Gaudí y de Felix Candela.

Contenido

Definicón ampliada

El Paraboloide Hiperbólico también se lo conoce bajo los nombres de silla de montar o paso de montaña por su conformación geométrica, pues es una superficie que en una dirección tiene las secciones en forma de parábola con los lados hacia arriba y, en la sección perpendicular, las secciones son en forma de parábola con los lados hacia abajo. Se puede simplificar el concepto afirmando que es un plano alabeado.

Las secciones según planos perpendiculares a los dos anteriores (según la tercera dimensión del espacio) son en forma de hipérbola. Si están por debajo del punto de la silla, en el centro de la figura, los lados de la hipérbola dan la forma de valles. Si están por arriba de este punto, las secciones de la hipérbola dan forma a los picos que flanquean el paso.

Ecuación

Ecuación cartesiana:

Paraboloide Hiperbólico
Paraboloide Hiperbólico
  • Con los planos z =k: , hipérbolas que cambian de eje con el signo de k.
  • Si k = 0 se reduce a un par de rectas
  • Con x =k: parábolas de eje con ramas descendentes y vértices en ascenso.
  • Con y =k: quedan determinadas parábolas de eje z con ramas ascendentes y vértices en descenso.

La superficie tiene la forma de una silla de montar.

Así el origen parece un máximo local desde una dirección, pero un mínimo local desde una dirección distinta. Tal punto de una superficie se llama punto silla.

Propiedades

El Paraboloide Hiperbólico tiene las siguientes propiedades:

  • Aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas.
  • Dados cuatro puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por estos cuatro puntos.

Aplicaciones

El Paraboloide Hiperbólico ha sido una de las superficies que más se han aplicado en arquitectura. Gaudí fue uno de los que la emplearon, pero quien más la ha trabajado ha sido Félix Candela. Dentro de la fauna de las superficies, esta curva es un espécimen ya conocido por los griegos.

La propiedad realmente importante, que motivó el interés tanto de Gaudí como de Candela, es el hecho de que el paraboloide hiperbólico, aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. Lo único que se tiene que hacer es ir variando el ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva. Este tipo de superficies los geómetras las denominan superficies regladas y existen ejemplos en cantidad suficiente en otro arte, en la escultura.

Es de suponer que esta propiedad es la que permitía a Gaudí dar las instrucciones precisas a sus obreros y al capataz cuando éstos tenían que construir un paraboloide hiperbólico en el techo de la Sagrada Familia (iniciada el año 1883).

Gaudí utilizó el paraboloide hiperbólico y también otras superficies doblemente regladas como el Hiperboloide de revolución. El arquitecto de origen español, exiliado a México y después nacionalizado norteamericano, Félix Candela fue quien mostró una maestría sublime en su utilización.

Ejemplos

El mejor ejemplo se puede encontrar en
Restaurant Los manatiales
Restaurant Los manatiales
el restaurante Los Manantiales (1958) del parque de Choximilco en la ciudad de México. El techo está formado por ocho paraboloides hiperbólicos. La misma estructura se puede encontrar ahora en el nuevo Oceanogràfic (2002) de la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia. Otro ejemplo fue El Parque_Güell diseñado por el arquitecto Gaudí con códigos del estilo modernismo catalán, con cubiertas de bóvedas catalanas en forma de paraboloide hiperbólico.

Su construcción

Dados cuatro puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por estos cuatro puntos. Ésta es la misma propiedad que dice que dos puntos determinan una única recta.

Lo que tenían que hacer los obreros era unir con sendas barras uno de los pares de puntos de una parte, y el otro par opuesto por la otra. Después sólo se tiene que dejar resbalar otra barra sobre las dos anteriores manteniendo una velocidad constante en los extremos.

Fuentes

  • Superficies [1]
  • Paraboloide Hiperbólico [2]
  • Paraboloide [3]
  • Paraboloide [4]