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Series Matemáticas

Series Matemáticas
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Series mateáticas2.jpg

Series Matemáticas . Una serie es la suma de los términos de una sucesiónSerie1.jpg

Se representa una serie con términos an comoSerie.jpg donde n es el índice final de la serie.

Las series convergen si Serie4.jpgpara algún Serie5.jpg, divergen si Serie3.jpgno existe o si tiende a infinito.

Tipos de series

Serie geométrica

Una serie geométrica es aquella cuyos términos forman una progresión geométrica. (Cada término es igual al anterior multiplicado por una constante). La fórmula de una serie geométrica siempre se puede escribir en la forma normal:

Serie6.jpg

Serie armónica

La serie armónica es la serie:

Serie7.jpg. La serie armónica es divergente.

Serie alternada

Una serie alternada es aquella cuyos términos son alternativamente positivos y negativos. Ejemplo:

Serie8.jpg

Serie de potencias

•Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:Serie9.jpg

Una serie de potencias alrededor de x=a es una serie de la forma:Serie10.jpg

En el cual el centro es a, y los coeficientes Cn son constantes. 

Serie telescópica

Una serie telescópica es la suma Serie11.jpg , donde Serie12.jpg. Se representa de la siguiente manera:

Serie13.jpg

Criterios de convergencia

Condición necesaria para la convergencia

Teorema

Es condición necesaria para que la serie Serie2.jpgsea convergente, que Serie14.jpg

Nota: Este criterio es necesario pero no suficiente, es decir que, si el término n-ésimo tiende a 0, no se puede afirmar que la serie sea convergente.

Condición suficiente

Para que una serie Serie2.jpgsea divergente, una condición suficiente es que Serie15.jpg.

Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.

Criterio de Alembert o Criterio del Cociente

Sea una serieSerie2.jpg , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe Serie17.jpgcon Serie18.jpg, el Criterio de D'Alembert establece que:

• si L < 1, la serie converge.

• si L > 1, entonces la serie diverge.

• si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie. En este caso, es necesario probar otro criterio.

Criterio de la raíz o de Cauchy

Sea una serie Serie2.jpg, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existeSerie19.jpg, siendo Serie18.jpg

Entonces, si:

• L < 1, la serie es convergente.

• L > 1 entonces la serie es divergente.

• L=1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie. En este caso, es necesario probar otro criterio.

Criterio de Joseph Raaber

Sea una serie Serie2.jpg, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y se supone que existeSerie20.jpg, siendo Serie21.jpg

Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es divergente.

Criterio de la integral de Cauchy

Si la función f(x) es positiva, continua y decreciente en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = an para todo n, entonces la serie Serie11.jpgy la integral impropia Serie22.jpg convergen o divergen simultaneamente.

Criterio de Leibniz

Una serie de la forma Serie25.jpg (con Serie35.jpg) se llama alternada. Tal serie converge si se cumplen las siguientes condiciones:

a) Serie26.jpg para n par y n impar

b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que: Serie27.jpg

Si esto se cumple, la serieSerie11.jpg es condicionalmente convergente de lo contrario la serie diverge.

Nota:Se debe descartar primero la convergencia absoluta de Serie28.jpgantes de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.

Criterios de convergencia comparativos

Son aplicables en caso de disponer de otra serie Serie29.jpgtal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la serie geométrica con razón (en valor absoluto) mayor que 1, |z| > 1. Entonces:

Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Carl Friedrich Gauss )

Si Serie30.jpg

• Si Serie29.jpgconverge Serie31.jpgconverge

• Si Serie33.jpg  diverge Serie32.jpgdiverge.

Criterio de comparación por paso al límite del cociente

Serie34.jpg

Entonces:

• Si L = 0 y Serie29.jpgconverge Serie31.jpgconverge

• Si Serie36.jpg y Serie29.jpgdiverge Serie31.jpgdiverge

• En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).

Convergencia absoluta y condicional

Convergencia absoluta

Se dice que la serie Serie11.jpg es absolutamente convergente si la serie de sus módulos Serie28.jpges convergente.

Convergencia condicional

Se dice que la serie Serie11.jpges condicionalmente convergente si Serie11.jpgconverge, pero la serie de sus módulos Serie28.jpg, diverge.

Fuente

Serpa,Alfredo. Series(2004). Editorial Félix Varela, La Habana.

Véase también