Teorema de Pascal

Teorema de pascal
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Teorema de Pascal. También denominado Hexagrammum Mysticum Theorem, establece que si un hexágono arbitrario se encuentra inscrito en alguna sección cónica, y se extienden los pares opuestos de lados hasta que se cruzan, los tres puntos en los que se intersecan se encontrarán ubicados sobre una línea recta, denominada la línea de Pascal de esta configuración.

Este teorema es una generalización del Teorema del hexágono de Pappus, y del dual proyectivo del teorema de Brianchon. Fue descubierto por Blaise Pascal en 1639 cuando tenía la edad de dieciséis años. El teorema fue generalizado por Möbiusen 1847, en la siguiente forma: si un polígono con 4n + 2 lados se encuentra inscrito en una sección cónica, y se prolongan los pares de lados opuestos hasta que se intersecan en 2n + 1 puntos. Entonces si 2n puntos se encuentran sobre una línea común, el punto remanente también se encontrará ubicado sobre dicha línea. Si los seis vértices de un hexágono están situados en una cónica y los tres pares de lados opuestos se cortan, entonces los puntos de intersección están alineados. A la recta que contiene los tres puntos de intersección se la conoce como recta de Pascal.

Teorema de Pascal en una elipse y en una parábola

Este teorema puede demostrarse usando el teorema de Menelao. El teorema dual del teorema de Pascal es el teorema de Brianchon.(se que aun no conocen el concepto de problema dual,ni de dualidad en geometria) El teorema de Pascal no acaba aquí. Porque dados seis puntos, no podemos hablar sólo de una recta de Pascal. A partir de 6 puntos es posible considerar 60 hexágonos diferentes, que por el Teorema de Pascal dan lugar a 60 rectas de Pascal. Estas rectas pasan tres a tres por 20 puntos, llamados puntos de Steiner. A su vez, estos 20 puntos están cuatro a cuatro en 15 rectas llamadas rectas de Plücker.

Las rectas de Pascal también se cortan tres a tres en otro conjunto de puntos, llamados puntos de Kirkman, de los que hay 60. Asociado a cada punto de Steiner hay tres puntos de Kirkman tales que los cuatro están en una recta, llamada recta de Cayley. En total hay 20 rectas de Cayley, que concurren cuatro a cuatro en 15 puntos, llamados puntos de Salmon.

Casos límites

El teorema de Pascal admite casos límite haciendo coincidir dos vértices contiguos del hexágono y sustituyendo el lado correspondiente por la recta tangente por el punto correspondiente.

Ejemplo

  • En todo pentágono inscrito en una cónica, el punto común a la tangente por un vértice y el lado opuesto y los puntos de intersecciòn de los otros lados no consecutivos, son tres puntos alineados.
  • En todo cuadrilátero inscrito en una cónica, si se trazan tangentes en

vértices extremos de un lado, el punto de intersección de este con su opuesto y los puntos de intersección de cada una de las tangentes con el lado que pasa por el punto de contacto de la otra, son tres puntos en línea recta.

  • En todo triángulo inscrito en una cónica, los puntos de intersección de los lados con las tangentes trazadas en los vértices opuestos son tres puntos en línea recta.

Fuentes