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Triángulo isósceles

Triángulo isósceles
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Triangulo isosceles.png
Concepto:Triángulo con 2 lados iguales.

Triángulo isósceles. En geometría son aquellos triángulos que tienen un par de lados iguales. Esta clase de triángulos debido a la igualdad de dicho par de lados posee un serie de propiedades que particularizan otras características geométricas y de cálculo.

Definición

La definición proviene del griego, donde el término isósceles se refiere a lados equilibrados o simétricos. Un triangulo que tenga un par de lados de longitudes iguales entre sí, es un triángulo isósceles.

Al lado no referido como igual se le llama base del triángulo, en vista a que los triángulos isósceles suelen representarse con el mismo en la parte de abajo de forma horizontal, mientras que los lados iguales apuntando hacia arriba.

Propiedades

El hecho de tener al menos un par de lados iguales permite que los triángulos isósceles tengan particularidades bien conocidas tanto en la geometría como en los cálculos de los mismos.

En primer lugar, debido a la propia definición, todo triángulo equilátero es también isósceles, pero evidentemente esto no es necesariamente recíproco.

Respecto a sus ángulos, el par de ángulos adyacentes a la base se denominan Beta.gif, pues tienen igual amplitud debido a que se oponen a lados iguales dentro del mismo triángulo y el lado opuesto se denominará Alfa.gif. Los lados iguales se han llamado l.

  • Triangulo isosceles descripcion.png

Todas las rectas fundamentales de los triángulos (altura, mediana, bisectriz, mediatriz) relativas a la base son coincidentes en el caso de los triángulos isósceles, es decir son la misma recta. Solo en el caso de los triángulos isósceles y equiláteros esta propiedad se extiende al resto de las rectas de los demás lados. Esto significa que dicha recta: altura relativa a la base del triángulo isósceles o más simplificadamente altura, divide a la mitad a la base, formando con esta una perpendicular, y también al ángulo opuesto lo divide en dos ángulos iguales a Alfa sobre 2.gif.

A grandes rasgos los elementos de los triángulos isósceles vienen asociados por las siguientes expresiones:

Propiedad Expresión
Ángulos interiores Triangulo isosceles angulos interiores.gif
La mitad del ángulo opuesto
a la base y el ángulo adyacente
son complementarios
Triangulo isosceles angulos interiores2.gif
Relación según Pitágoras
entre el lado igual
la altura y la base
4l2=4h2+b2
Relaciones trigonométricas Triangulo isosceles seno.gif
Triangulo isosceles coseno.gif
Triangulo isosceles tangente.gif
Triangulo isosceles cotangente.gif
Teorema del seno Triangulo isosceles teorema seno.gif
Radio de la
circunferencia circunscrita
Triangulo isosceles radio circunscrito.gif
Teorema del coseno Triangulo isosceles teorema coseno.gif

El perímetro evidentemente sería:

  • PT=2l+b

Para este caso tan cómodo se puede definir el área del triángulo isósceles mediante la clásica fórmula:

  • Area triangulo formula.gif

En el caso de las rectas fundamentales de los triángulos isósceles, estas se particularizan de la siguiente manera:

Recta Figura Descripción
Medianas Triangulo isosceles medianas.png El centro de gravedad o baricentro se halla en:

Triangulo isosceles baricentro.gif

donde (x0;y0) es el vértice opuesto a la base
y (xbm;ybm) es el punto medio de la base

Alturas Triangulo isosceles alturas.png El ortocentro es el punto de convergencia de las alturas
Mediatrices Triangulo isosceles mediatrices.png El circuncentro o centro de la circunferencia
circunscrita es donde coinciden las mediatrices

La siguiente vista combinada muestra la disposición relativa de cada una de las rectas fundamentales y de sus puntos de intersección a lo largo de la altura principal:

  • Triangulo isosceles rectas fundamentales.png

Si se traza un segmento paralelo b' a la base que seccione al triángulo en dos partes se obtiene entonces otro triángulo isósceles semejante al mayor y un trapecio isósceles, cuyas bases son b y b' y los lados restantes son iguales entre sí. Este es un método común de obtención de trapecios isósceles.

  • Triangulo trapecio isosceles.png

Triángulos rectángulos isósceles

En el caso de los triángulos isósceles que sean rectos, la base sería la hipotenusa y los catetos los lados iguales. Obligatoriamente los ángulos de la base tendrían siempre amplitud de 45o forzando la relación entre los lados a la siguiente expresión derivada del Teorema de Pitágoras:

  • b2=2l2

o desde el punto de vista trigonométrico:

  • Triangulo isosceles recto trigonometria.gif

El cálculo del área derivaría a la forma, ya que ahora los catetos serán alturas respectivas:

  • Triangulo isosceles recto area.gif

Mientras su perímetro pasa a la forma particular:

  • Triangulo isosceles recto perimetro.gif

Desde el punto de vista geométrico, según el Teorema de Tales, el circuncentro ahora sería el punto medio de la hipotenusa.

Fuentes