Diferencia entre revisiones de «Matriz diagonal»
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* Una matriz cuadrada de orden ''N'' es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene ''N'' vectores propios linealmente independientes. Dicha matriz se dice que es diagonalizable. | * Una matriz cuadrada de orden ''N'' es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene ''N'' vectores propios linealmente independientes. Dicha matriz se dice que es diagonalizable. | ||
* Si existe el producto matricial ''C=AB'' con ''B'' de ''NxM'' los elementos de ''C'' serán de la forma ''c<sub>i,j</sub>=a<sub>i,i</sub>b<sub>i,j</sub>'' para ''i=1..N'' e ''j=1..M''. | * Si existe el producto matricial ''C=AB'' con ''B'' de ''NxM'' los elementos de ''C'' serán de la forma ''c<sub>i,j</sub>=a<sub>i,i</sub>b<sub>i,j</sub>'' para ''i=1..N'' e ''j=1..M''. | ||
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==Véase también== | ==Véase también== | ||
Revisión del 17:29 29 ago 2017
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Matriz diagonal. Dícese de la matriz cuadrada de orden N cuyos elementos excepto al menos uno de la diagonal principal son cero.
Un caso particular de la matriz diagonal de orden N es la matriz identidad.
Es de gran utilidad en las aplicaciones lineales pues reducen notablemente el cálculo a una simple multiplicación directa.
Definición
Sea A una matriz cuadrada de orden N, se dice que es una matriz diagonal si todos sus elementos satisfacen que:
- Para i=1..N e j=1..N tal que ai,j=0.
- Existe i=1..N tal que ai,i≠0
Es decir a excepción de al menos uno en la diagonal principal todos sus elementos son nulos.
Esto convierte en particularidad el caso de que todos los elementos de la diagonal principal sean no nulos y en especial, el caso cuando todos los elementos de la diagonal principal son 1 la matriz diagonal es también la matriz identidad de orden N IN.
Propiedades
Sea una matriz diagonal A de orden N se cumple entonces:
- A=IN si.
- Para i=1..N e j=1..N tal que ai,j=0.
- Para todo i=1..N tal que ai,i=1
- |A|=a1,1a2,2...an,n
- Una matriz cuadrada de orden N es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene N vectores propios linealmente independientes. Dicha matriz se dice que es diagonalizable.
- Si existe el producto matricial C=AB con B de NxM los elementos de C serán de la forma ci,j=ai,ibi,j para i=1..N e j=1..M.
Importancia
La simplificación operatoria de las matrices hace que sean muy deseables en el caso de la representación o modelación de transformaciones lineales en el álgebra homónima. El llevar una matriz cuadrada a su similar diagonal es una garantía de simplicidad que en el caso del cálculo computacional.
Véase también
Fuentes
- Colectivo de Autores. Álgebra lineal. Editorial Félix Valera. 2003.
- K. Ribnikov. Análisis Combinatorio. Editorial Mir Moscú. 1988.
