Matriz inversa

Matriz inversa Concepto: Matriz cuadrada A-1 de orden N tal que A-1A=AA-1=IN.

Matriz inversa. Dícese de la Matriz cuadrada A^-1 de orden N que dada, A una matriz cuadrada no singular del mismo orden, satisface AA^-1=A^-1A=I_N.

Definiciones.

Dada la matriz cuadrada A de orden N se dice que es una matriz inversible si y sólo si el determinante de A no es nulo.

Si A es una matriz inversible, se dice que la matriz cuadrada A^-1 de orden N es la matriz inversa de A tal que AA^-1=A^-1A=I_N.

Propiedades.

Relativas a la inversibilidad:

• Una matriz cuadrada A es inversible si existe otra matriz cuadrada B tal que AB=BA=I.

• Una matriz es inversible ssi:
  • Es cuadrada.
  • Es no singular.

• Si una matriz A de orden n es inversible, entonces su rango también es n.

• La matriz inversa si existe es única.

• (AB)^-1=A^-1B^-1
• (A^T)^-1=(A^-1)^T
• (A^-1)^-1=A
• I^-1=I

Métodos de obtención de matrices inversas

Mediante el determinante y la matriz adjunta:

• Sea A⁺ la matriz adjunta de A, A^-1=A⁺/|A|.

Para los casos específicos de matrices inversibles de orden 2 y 3 puede calcularse sus inversas de la formas:

• Orden 2:
  • ,
  • Cuyo determinate es |A|=ad-bc,
  • ,
  • ,
  • 
• Orden 3:
  • ,
  • Su determinante
  • Se calculan los complementos algebraicos de cada celda, obteniéndose la transpuesta de la matriz adjunta ,
  • Se transpone: ,
  • 

Método de Eliminación de Gauss-Jordan:

• A partir de se crea la matriz extendida (A|I) y mediante transformaciones elementales en cada fila, si A es inversible, se obtiene (I|A^-1).

Solución de sistemas de ecuaciones líneales mediante la inversa

Sea la matriz A no singular y el sistema de ecuaciones lineales representado en la ecuación matricial:

• AX=B

Se puede multiplicar delante de ambos lados de la ecuación por A^-1:

• A^-1AX=A^-1B => I.X=A^-1B

de donde:

• X=A^-1B

que muestra otra manera de determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales compatible.

Ejemplos.

La matriz:

1	2	3
4	5	6
7	8	9

no tiene inversa porque su determinante es 0, es decir es una matriz singular.

En cambio la matriz A:

1	2	3
3	4	5
5	6	8

cumple |A|=-2, es no singular y por ende es inversible. A^-1 es:

-1	-1	1
-0,5	3,5	-2
1	-2	1

La cual puede obtenerse mediante la matriz adjunta y su determinante:

• 
• 
• 
• 

O mediante el método de Jordan:

• Se escribe la matriz ampliada (A|I): .
• Pivote A_1,1.
  • .
  • Sustituir Fila2 por Fila2 - 3 Fila1.
  • Sustituir Fila3 por Fila3 - 5 Fila1.
• Pivote A_2,2.
  • .
  • Sustituir Fila1 por Fila1 + Fila2.
  • Sustituir Fila3 por Fila3 - 2 Fila2.
• Pivote A_3,3.
  • .
  • Sustituir Fila1 por Fila1 + Fila3.
  • Sustituir Fila2 por Fila2 + 4 Fila3.
• Se divide la fila 2 por -2 y se obtiene finalmente (I|A^-1):
  • .

Resolución de sistema de ecuaciones lineales

Sea el sistema de ecuaciones lineales representado por la ecuación matricial AX=B:

Pero la matriz que representa a los coeficientes del SEL tiene por inversa:

Y en este caso el sistema puede replantearse como X=A^-1B, resolviéndose mediante el producto matricial:

Véase también

• Matriz
• Matriz cuadrada
• Matriz identidad
• Matriz adjunta
• Eliminación de Gauss-Jordan
• Matriz singular
• Determinante

Fuentes

• Colectivo de Autores. Álgebra lineal. Editorial Félix Varela, La Habana, 2003.
• K. Ribnikov. Análisis Combinatorio. Editorial Mir, Moscú, 1988.
• Matriz invertible en Wikipedia.