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Es de gran utilidad en las [[aplicación lineal|aplicaciones lineales]] pues reducen notablemente el cálculo a una simple [[multiplicación]] directa. | Es de gran utilidad en las [[aplicación lineal|aplicaciones lineales]] pues reducen notablemente el cálculo a una simple [[multiplicación]] directa. | ||
==Definición== | ==Definición== | ||
| − | Sea ''A'' una matriz cuadrada de orden | + | Sea ''A'' una matriz cuadrada de orden n, se dice que es una '''matriz diagonal''' si todos sus elementos satisfacen que: |
| − | * | + | * Para 1≤ i, j≤n, i ≠ j se tiene ''a<sub>i,j</sub>=0''. |
| + | * Existe ''i=1..n'' tal que ''a<sub>i,i</sub>≠0'' | ||
Es decir a excepción de al menos uno en la diagonal principal todos sus elementos son nulos. | Es decir a excepción de al menos uno en la diagonal principal todos sus elementos son nulos. | ||
| − | + | Esto convierte en particularidad el caso de que todos los elementos de la diagonal principal sean no nulos y en especial, el caso cuando todos los elementos de la diagonal principal son 1 la matriz diagonal es nombrada la ''matriz identidad de orden n'', denotada por ''I<sub>n</sub>''; llamada también ''matriz uno'' <ref> Serge Lang, Algebra lineal </ref> | |
==Propiedades== | ==Propiedades== | ||
Sea una matriz diagonal ''A'' de orden ''N'' se cumple entonces: | Sea una matriz diagonal ''A'' de orden ''N'' se cumple entonces: | ||
| − | * | + | * ''A=I<sub>N</sub>'' si: |
| + | ** Para todos ''i=1..N'' e ''j=1..N'' e ''i≠j'', ''a<sub>i,j</sub>=0''. | ||
| + | ** Para todo ''a<sub>i,i</sub>=1'' | ||
* ''|A|=a<sub>1,1</sub>a<sub>2,2</sub>...a<sub>n,n</sub>'' | * ''|A|=a<sub>1,1</sub>a<sub>2,2</sub>...a<sub>n,n</sub>'' | ||
| − | * Una matriz cuadrada de orden ''N'' es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene ''N'' vectores propios linealmente independientes. Dicha matriz se dice que es diagonalizable. | + | * Una matriz cuadrada de orden ''N'' es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene ''N'' [[vector propio|vectores propios]] [[vector linealmente independiente|linealmente independientes]]. Dicha matriz se dice que es diagonalizable. |
| − | * Si existe el producto matricial ''C=AB'' con ''B'' de ''NxM'' los elementos de ''C'' serán de la forma ''c<sub>i,j</sub>=a<sub>i,i</sub>b<sub>i,j</sub>''. | + | * Los elementos ''a<sub>i,i</sub>'' con ''i=1..N'' son [[valor propio|valores propios]] de ''A''. |
| + | * Si existe el producto matricial ''C=AB'' con ''B'' de ''NxM'' los elementos de ''C'' serán de la forma ''c<sub>i,j</sub>=a<sub>i,i</sub>b<sub>i,j</sub>'' para ''i=1..N'' e ''j=1..M''. | ||
| + | * Si existe el producto matricial ''C=BA'' con ''B'' de ''MxN'' los elementos de ''C'' serán de la forma ''c<sub>i,j</sub>=b<sub>i,j</sub>a<sub>j,j</sub>'' para ''i=1..M'' e ''j=1..N''. | ||
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| + | La simplificación operatoria de las matrices hace que sean muy deseables en el caso de la representación o modelación de [[transformaciones lineales]] en el álgebra lineal y en ecuaciones diferenciales. El llevar una matriz cuadrada a su similar diagonal es un recurso de simplificación de todo tipo de cálculo matricial. | ||
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==Véase también== | ==Véase también== | ||
* [[Matriz cuadrada]] | * [[Matriz cuadrada]] | ||
* [[Matriz identidad]] | * [[Matriz identidad]] | ||
| + | * [[Vector propio]] | ||
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==Fuentes== | ==Fuentes== | ||
* Colectivo de Autores. [[Álgebra lineal]]. [[Editorial Félix Valera]]. [[2003]]. | * Colectivo de Autores. [[Álgebra lineal]]. [[Editorial Félix Valera]]. [[2003]]. | ||
* K. Ribnikov. Análisis Combinatorio. Editorial Mir Moscú. 1988. | * K. Ribnikov. Análisis Combinatorio. Editorial Mir Moscú. 1988. | ||
| + | * [https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_diagonal Matriz diagonal]. Consultado el [[29 de agosto]] de [[2017]]. | ||
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última versión al 12:43 5 sep 2019
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Matriz diagonal. Denominación de la matriz cuadrada de orden n cuyos elementos, excepto al menos uno de la diagonal principal, son cero.
Un caso especial e importante de la matriz diagonal de orden n es la matriz identidad.
Es de gran utilidad en las aplicaciones lineales pues reducen notablemente el cálculo a una simple multiplicación directa.
Definición
Sea A una matriz cuadrada de orden n, se dice que es una matriz diagonal si todos sus elementos satisfacen que:
- Para 1≤ i, j≤n, i ≠ j se tiene ai,j=0.
- Existe i=1..n tal que ai,i≠0
Es decir a excepción de al menos uno en la diagonal principal todos sus elementos son nulos.
Esto convierte en particularidad el caso de que todos los elementos de la diagonal principal sean no nulos y en especial, el caso cuando todos los elementos de la diagonal principal son 1 la matriz diagonal es nombrada la matriz identidad de orden n, denotada por In; llamada también matriz uno [1]
Propiedades
Sea una matriz diagonal A de orden N se cumple entonces:
- A=IN si:
- Para todos i=1..N e j=1..N e i≠j, ai,j=0.
- Para todo ai,i=1
- |A|=a1,1a2,2...an,n
- Una matriz cuadrada de orden N es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene N vectores propios linealmente independientes. Dicha matriz se dice que es diagonalizable.
- Los elementos ai,i con i=1..N son valores propios de A.
- Si existe el producto matricial C=AB con B de NxM los elementos de C serán de la forma ci,j=ai,ibi,j para i=1..N e j=1..M.
- Si existe el producto matricial C=BA con B de MxN los elementos de C serán de la forma ci,j=bi,jaj,j para i=1..M e j=1..N.
Importancia
La simplificación operatoria de las matrices hace que sean muy deseables en el caso de la representación o modelación de transformaciones lineales en el álgebra lineal y en ecuaciones diferenciales. El llevar una matriz cuadrada a su similar diagonal es un recurso de simplificación de todo tipo de cálculo matricial.
Referencias
- ↑ Serge Lang, Algebra lineal
Véase también
Fuentes
- Colectivo de Autores. Álgebra lineal. Editorial Félix Valera. 2003.
- K. Ribnikov. Análisis Combinatorio. Editorial Mir Moscú. 1988.
- Matriz diagonal. Consultado el 29 de agosto de 2017.
