Función Cúbica

Función Cúbica

Función Cúbica. La función Cúbica es generalmente utilizada para relacionar volúmenes en determinados espacio o tiempo. Otro ejemplo es el relacionar el crecimiento de un feto en gestación con el hecho de relacionar su distancia de los pies a la cabeza se puede determinar la semanas de gestación del feto. También el hecho de relacionar los vientos o la energía eólica con respecto a la intensidad de estos y su tiempo de duración. Se utiliza más en el campo de la economía y de la física.

Definición

La función cúbica se define como el polinomio de tercer grado; el cual se expresa de la forma: f(x) = ax³ + bx² + cx + d con a ≠ 0, a, b, c y d Œ IR

Función Cúbica

Un ejemplo de función cúbica es: y = f(x) = x³, es la llamada: parábola cúbica.

Propiedades

• El dominio de la función es la recta real es decir (-α : α)
• El recorrido de la función es decir la imagen es la recta real.
• La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x).
• La función es continua en todo su dominio.
• La función es siempre creciente.
• La función no tiene asintotas.
• La función tiene un punto de corte con el eje Y.
• La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con el eje X.

Ejemplos

Grafique y analice las propiedades de la siguientes funciones

a) f(x) = 2x³ + 3x² - 12x

Propidades

• Dominio: El conjunto de los Reales
• Imagen: El conjunto de los Reales
• Ceros de la función:

Se iguala la función a cero

2x³ + 3x² - 12x = 0 x( 2x² + 3x - 12) = 0 Extrayendo factor común x = 0 ( 2x² + 3x + 12)= 0 Igualando a cero ambos factores y realizar la descomposición.

• Simetría: Demostrar que cumple f(-x)=-f(x).

Para demostrar la simetría analíticamente de selecciona un número cualesquiera y su opuesto ejemplo 1 y -1 Demostrar que f(-1) = - f(1)

f(-1) = 2(-1)³ + 12 . (-1)² + 2. (-1 )

      =  2.(-1)  + 12 . 1  - 2.   
      =  -2  + 12  -  2  
      =  10 - 2 
      =  8 

f(1) = 2(1)³ + 12 . (1)² + 2. (1 )

      =    2.(1)  -  12 . 1  +  2 
      =    2  - 12 + 2 
      =   -10 + 2  
      =  -8 

Como f(-1) = - f(1) por tanto la función es simétrica.

• Continuidad: La función es continua en todo su dominio pues gráficamente se puede observar que no tiene ningún punto de discontinuidad.
• La función no tiene asuntotas.

• Para determinar los puntos donde la función corta el eje de la y

Se determina el valor de la función para x=0 f(0) = 2. 0³ + 3. 0² - 12. .0 Obteniendo y= 0 y la función corta el eje de la y en el punto (0:0)

b) F(x) = -x3 +8

Ejercicios

Grafique y analice las siguientes funciones cúbicas. 1) f(x) = x³ + 12x + 2 2) f(x) = -x³ + 3x² + 9x 3) f(x) = 3x² + x³ - 1

Véase también

*Funciones lineales.  

• Funciones cuadráticas.
• Funciones trigonométricas
• Funciones exponenciales
• Funciones logarítmicas.
• Funciones potenciales.

Fuente

• Colectivo de autores. Matemática 8vo grado. Editorial Pueblo y Educación. 1990.
• Libro de texto Matemática 10mo grado. Editorial Pueblo y Educación. 1990.
• Cuaderno Complementario. Matemática 9 no grado. Editorial Pueblo y Educación. 2005.