Anillo simple
Un anillo artiniano A se denomina simple cuando A ≠ 0 y cuando A no posee ideales biláteros propios; siendo así, los únicos ideales bilateros de A son 0 y A.[1] Por ser el radical de un anillo un ideal bilátero, se sigue que todo anillo simple es semisimple. Pero hay casos de anillos semisimples que no son simples. Sucede que un anillo simple A no es necesariamente un A-módulo a la izquierda (o a la derecha).
Afirmaciones
Proposición
Un anillo A es simple si, solo si, A se descompone como suma directa de ideales a la izquierda minimales, todos isomorfos entre sí como A- módulo a la izquierda.
Consecuencia
Un anillo es semisimple si, solo si, es el producto directo de un número finito de anillos simples.
Lema
Sean A un anillo con división y M un A-módulo libre de rango n. Entonces el anillo End_{A} (M) de los A- endomorfismos de M es simple.<ref name=Artibano_Micali>
Ejemplo
El lema precedente señala que si F es un campo conmutativo, el anillo A = M_n (F) de matrices cuadradas nxn con coeficientes en F es un anillo simple; o sea que no tiene otros ideales biláteros que 0 y A, aunque sí posee ideales a la izquierda no nulos propios. Ello expresa que A es simple como anillo, mas no como A-módulo a la izquierda.
Fuentes
- ↑ Micali, Artibano (1983): Estructuras algebraica VII (estructuras de álgebras). Wáshington DC: Secretaría General de OEA, 1983.
Fraleigh, John B. (1987): Álgebra abstracta. Wilmington (Delaware): Adison-Wesley-Iberoamericana, 1987.
