Circunferencia de los nueve puntos

Circunferencia de Feuerbach Concepto: Es la circunferencia que puede trazarse por puntos ligados a un triángulo escaleno no obtusángulo

Circunferencia de Feuerbach . Tal como conocen en el mundo sajón , en el ámbito galo como Circunferencia de Euler. También llamada Circunferencia de los nueve puntos en el área anglosajón, Latinoamérica, Rusia, Japón, India, China. Es la circunferencia que puede trazarse por puntos ligados a un triángulo escaleno no obtusángulo. Su nombre, mencionando el cardinal de un conjunto de puntos, se debe a que la circunferencia atraviesa nueve puntos con nombre propio, seis de ellos sobre el mismo triángulo. Son los siguientes 9 puntos:

1. Los 3 centros de los tres lados del triángulo.
2. Los 3 pies de las alturas de tal triángulo.
3. Los 3 centros de cada uno de los segmentos que unen los tres vértices del triángulo con su ortocentro .

Síntesis histórica

Tradicionalmente, se adjudica a Carlos Guillermo Feuerbach el hallazgo de la circunferencia de los nueve puntos; sin embargo, lo que él encontró fue la circunferencia de los seis puntos, reconociendo que sobre ella se encuentran los puntos medios de los lados de un triángulo y los pies de las alturas(en la figura, los puntos: M N P y E G J).

Anteriormente, Carlos Brianchon y Juan-Victor Fernandes habían demostrado su existencia. Poco tiempo después de Feuerbach, Olry Terquem también demostró la existencia del círculo y reconoció además que los puntos medios de los segmentos determinados por los vértices del triángulo y el ortocentro, además están ubicados en la circunferencia (en la figura, los puntos: D F H).

Denominación

Poncelet la llamó circunferencia de los nueve puntos, nombre mayormente empleado en los países de habla inglesa. Algunos geómetras franceses la llaman círculo de Euler ( o circunferencia de Euler) y los geómetras teutones la denominan circunferencia de Feuerbach, y en México, circunferencia de los nueve puntos (sic). Charles Wexler lo presenta como un teorema notable de geometría moderna e indica sus propiedades.. Pero en la obra de Shively, en la primera edición en castellano, en Latinoamérica, ya se conocía con el nombre de la "circunfrencia de los nueve puntos"

Proposición

Los puntos que bisecan los lados, los pies de las alturas también los puntos que bisecan los segmentos que conectan los vértices con el ortocentro de todo triángulo pertenecen a una misma circunferencia .

Demostación

Consideremos las alturas del triángulo ABC: AE, BG y CJ (véase la figura). El triángulo GEJ es el triángulo órtico del triángulo ABC, y el punto I es el ortocentro del triángulo ABC. Las alturas de este, son las bisectrices de los ángulos internos de aquel. Los lados del triángulo ABC son las bisectrices exteriores del triángulo GEJ.

Las bisectrices del ángulo JGE cortan a la mediatriz del lado opuesto, EJ en los puntos F y N que se hallan sobre la circunferencia circunscrita c (descrito en el artículo de la bisectriz de un ángulo).

Observemos que los triángulos ACJ y ACE son triángulos rectángulos teniendo ambos al lado AC como hipotenusa. Se sigue que los cuatro puntos A, C, E y J son concíclicos y el centro de la circunferencia que los contiene se halla sobre la intersección de la hipotenusa AC con la mediatriz del segmento EJ, esto es, el punto N. Se sigue que N es punto medio del segmento AC.

De modo semejante, los triángulos EIB y JIB son triángulos rectángulos compartiendo la hipotenusa IB. Por lo tanto, los puntos E, I, J y B son concíclicos y el centro de la circunferencia que los contiene se halla sobre la intersección de la hipotenusa IB con la mediatriz del segmento EJ, esto es el punto F. De igual modo, se demuestra que los puntos M y P son los puntos medios de los lados BC y AB respectivamente. De forma análoga, se demuestra que los puntos D y H son puntos medios de los segmentos AI y CI respectivamente.

Circunferencias la de Feuerbach y la circunscrita

Por la observación de que los puntos D, F y H satisfacen

IA = 2ID; IB = IF; IC = 2IH

se deduce que:

• la circunferencia de Feuerbach de un triángulo es homotética a la circunferencia circunscrita,
• el centro de homotecia es el ortocentro del triángulo,
• la razón de la homotecia es 2.

El triángulo formado por los puntos D, F y H es semejante al triángulo ABC. También se observa que el centro de la circunferencia de Feuerbach N, es punto medio del segmento IO, donde O es el circuncentro del triángulo ABC.

Finalmente, el centro de la circunferencia de Feuerbach se halla sobre la recta de Euler del triángulo.

Aspectos diversos

En 1822, Karl Feuerbach descubrió una de las propiedades más profundas sobre la circunferencia que lleva su nombre: la circunferencia de los nueve puntos es tangente exterior a los círculos exinscritos al triángulo. La circunferencia inscrita al triángulo es tangente interior a la circunferencia de Feuerbach.

La demostración de esta ocurrencia puede hacerse, observando que los puntos de tangencia de dos de las circunferencias exinscritas a uno de los lados del triángulo equidistan del punto medio de dicho lado. Usando la inversión respecto de este punto medio se le puede dar el toque final a la demostración.

Fuentes

• Donaire Peña, Milton (2010): Formas y números. Lima (Perú): Ediciones UCH, 2010.
• Shively, Levi: Introducción a la geometría moderna.
• Wikipedia