Distancia euclídea

Distancia euclideana Concepto: Norma característica de la geometría euclideana que indica cuán lejos está un punto de otro en el plano o el espacio.

Distancia euclideana. En Matemáticas, Álgebra, Geometría y más específicamente, Geometría euclidiana y Geometría análitica, se trata de una fórmula usada en varias culturas para calcular la distancia entre dos puntos, primero en el plano y luego en el espacio; aunque también sirve para definir la longitud de la distancia entre puntos de otros tipos de espacios con más dimensiones.

Sus bases se encuentran en la aplicación del Teorema de Pitágoras sobre triángulos rectángulos, donde la distancia euclideana viene a ser por lo general la hipotenusa del triángulo recto conformado por cada punto y los vectores proyectados sobre los ejes directores al nivel de la hipotenusa.

Definiciones.

En el plano euclideano sean los puntos A=(x_A;y_A) B=(x_B;y_B) se define la distancia euclideana entre dichos puntos por:

• 

En el espacio, sean los puntos A=(x_A;y_A;z_A) y B=(x_B;y_B;z_B) se define la distancia euclideana mediante la expresión:

• 

Y de manera más general en un espacio de N dimensiones la distancia euclideana entre dos puntos A=(a₁;a₂;...;a_N) y B=(b₁;b₂;...;b_N) se ajusta a:

• 

Propiedades.

La distancia o métrica euclideana (en su caso general de N dimensiones) satisface las condiciones necesarias para ser catalogada como una métrica en términos estrictamente matemáticos que serían:

1. No negatividad:
2. Simetría: d(A,B)=d(B,A).
3. Reflexividad: d(A,A)=0.
4. Desigualdad triangular: .
5. Igualdad: Si d(A,B)=0, entonces A=B.

Las pruebas son triviales.

Importancia.

Además del evidente resultado de la determinación de la longitud mínima entre dos puntos, pueden citarse otras muchas aplicaciones de la distancia euclideana, que dicho sea de paso, se conoce como distancia a secas.

Tiene sus bases en el teorema de Pitágoras donde como se ve en la figura siguiente:

• middle

donde la distancia misma es la longitud de la hipotenusa (marcada en azul en la figura) y sus catetos (trazados en verde), que serían las proyecciones sobre los ejes coordenados de dicha recta, trasladados hasta los puntos en cuestión (marcados en rojo). Acá el conocido teorema se expresa:

• |AB|²=(x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²'

que luego queda en la conocida fórmula de la distancia euclideana.

Un caso menos conocido es su uso en el espacio tridimensional de colores RGB cuyas dimensiones suelen definirse como valores enteros no negativos que varían desde 0 hasta 255 (lo que soporta un octeto o byte) y que permite contar con 256³=16.777.216 colores, mucho más de lo que el ojo humano puede distinguir. En este espacio cada punto indica un color distinto dado por el brillo de cada componente: 0 es oscuro total; 255, brillo máximos de la componente. Por ejemplo: (255,0,0) es rojo brillante, (127,0,0) es un rojo más oscuro, (64,0,0) es rojo más oscuro aún, (0,0,0) es negro. Activando el resto de las componentes se logran otras combinaciones de color.

En este caso la distancia euclideana se define para dos puntos A=(r_A;g_A;b_A) y B=(r_B;g_B;b_B) del espacio de color RGB:

• 

que permite entre otras muchas cosas la detección automatizada de bordes y por tanto, de objetos completos en fotografía digital.

Veáse también.

• Distancia.
• Distancia de Mahalanobis.

Fuentes.

1. I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. Editorial Mir, Moscú. 1973.
2. Colectivo de autores. Matemática 11no grado. Editorial Pueblo y Educación, La Habana. 1989.
3. Teorema de los senos en Wikipedia. Revisado 29 de marzo de 2012.