Fractal

Geometría Fractal

Geometría Fractal

Geometría Fractal es geometría que no distingue entre conjunto matemático y objeto natural. Este nuevo paradigma engulle paradigmas anteriores proyectando un modelo que inagura una nueva zona o región de lo real.

Los fractales son, objetos semi geométricos (por su irregularidad no pertenecen a la geometría tradicional) cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. El fractal puede ser creado por el hombre, incluso con intenciones artísticas, aunque también existen estructuras naturales que son fractales (como los copos de nieve).

Historia

El matemático francés Benoît Mandelbrot desarrolló, en 1975, el concepto de fractal, que proviene del vocablo latino fractus (“quebrado”). El término pronto fue aceptado por la comunidad científica e incluso ya forma parte del diccionario de la Real Academia Española (RAE).

La geometría fractal es una parcela de las matemáticas cuyos límites reales no están todavía del todo claros. Históricamente sus orígenes se remontan a principios del siglo XX y durante el desarrollo de la Teoría de la Medida con el estudio de conjuntos geométricos con propiedades aparentemente paradójicas.

En dichos conjuntos (curvas de Peano y Koch, conjunto de Cantor, triángulo de Sierpinski, etc.) parecía existir una discordancia entre su tamaño real y su configuración espacial como conjunto de puntos (curvas con área o con longitud infinita entre dos de sus puntos, etc.). El término fractal fue acuñado por B. B. Mandelbrot en 1977 (en su obra The Fractal Geometry of Nature) para designar ciertos objetos geométricos de estructura irregular. Aunque Mandelbrot no dio una definición precisa, caracterizó a los fractales mediante las tres propiedades siguientes: a) Figuras que se repiten en sí mismas infinitas veces a distintas escalas (conjuntos autosemejantes). b) Figuras con dimensión no entera (dimensión fractal). c) Conjuntos que aparecen tras procesos iteractivos infinitos.

En su libro, Mandelbrot defendió la idea que se convertiría con el tiempo en la razón del crecimiento exponencial de las aplicaciones de los fractales y de la actual popularización del término: las formas de la naturaleza son fractales y múltiples procesos de la misma se rigen por comportamientos fractales. Pensemos por ejemplo en una frontera entre estados. Con el paso del tiempo, esta frontera se ve sometida a cambios debido a enfrentamientos, acuerdos locales, pequeñas conexiones, etc., que hacen que el trazado de ésta vaya variando. El perfil de una costa sufre un proceso análogo al de la frontera: los elementos en contacto, agua y tierra, están sometidos durante largos períodos a interacciones (erosiones eólicas y marinas, basculación continental, etc.) que modifican permanentemente la forma de la costa. Se estudia el carácter fractal de diversas ramas y árboles, las redes de drenaje de una cuenca fluvial, la ramificación de los bronquios en los alveolos pulmonares... También se están utilizando los fractales para transmitir imágenes digitales, o en el mercado de valores, donde la dimensión fractal proporciona el grado de predictibilidad del fenómeno.

Obviamente, los fractales no existen en la realidad, así como tampoco existen rectas ni esferas, pero sirven para modelizar objetos reales difícilmente abarcables con los objetos de la geometría euclídea.

La principal diferencia entre la geometría fractal y la geometría clásica es que esta última presenta contornos diferenciables, mientras que en la geometría fractal aparecen contornos quebrados (no diferenciables), difíciles de medir. Por ejemplo, si se trata de medir el contorno de un país, el resultado dependerá de la resolución del mapa, de manera que un mayor resolución implica mayor longitud. Es por ello por lo que se tratará de medir los fractales usando otro tipo de dimensiones (dimensión fractal), de forma que se pueda comparar la longitud del litoral de un país con el de otro. A comienzos del siglo XX aparecieron conjuntos con paradójicas y sorprendentes propiedades. Se trata de los primeros ejemplos de lo que hoy llamamos fractales.

Autosimilitud de fractales

De acuerdo a Mandelbrot, los fractales pueden presentar tres tipos diferentes de autosimilitud (las partes tienen la misma estructura que el todo):

• Autosimilitud exacta: El fractal resulta idéntico a cualquier escala

• Cuasiautosimilitud: Con el cambio de escala, las copias del conjunto son muy semejantes, pero no idénticas.

• Autosimilitud estadística: El fractal debe tener medidas numéricas o estadísticas que se conserven con el cambio de escala.

Uso de los fractales

Compresión de imágenes

Las técnicas fractales se utilizan, por ejemplo, para la comprensión de datos. A través del teorema del collage, es posible encontrar un IFS (sistema de funciones iteradas), que incluye las transformaciones que lleva una figura completa en cada una de sus partes autosemejantes. Al quedar la información codificada en el IFS, es posible procesar la imagen.

Efectos visuales

Una de las más triviales aplicaciones de los fractales son sus efectos visuales. No solamente engañan la vista, sino que también de algún modo confunden a la mente. Los fractales han estado siendo usados comercialmente en la industria cinematográfica, en películas como Star Wars y Star Trek. Las imágenes fractales son usadas como una alternativa ante costosos sets elaborados para producir paisajes fabulosos.

Música fractal

Otra aplicación de los fractales aparentemente irrelevante es la música fractal. Ciertas músicas, incluyendo las de Bach y las de Mozart, pueden ser reducidas y todavía retener la esencia del compositor. Están siendo desarrolladas muchas nuevas aplicaciones software para el desarrollo de música fractal.

Modelado de formas naturales

Las formas fractales, las formas en la que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que solo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (Las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio), como las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan catástrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades más complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama, que a su vez es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja).

Sistemas dinámicos

Las formas fractales no sólo se presentan en las formas espaciales de los objetos sino que se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos, dinámica que consta de ciclos (en los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad más compleja) que a su vez forman parte de ciclos más complejos los cuales forman parte del desarrollo de la dinámica de otro gran ciclo. Las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.

Fuente

Joven Club de Computación y Electrónica en Ciego de Ávila

Enlaces externos

Definición de fractal-Qué es, significado y concepto

Qué es un fractal

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