Semejanza de Triángulos
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Semejanza de Triángulos.En la práctica, para demostrar que dos triángulos son semejantes, puede utilizarse el teorema fundamental de la semejanza o los criterios que aparecen a continuación.
Teorema fundamental de la semejanza
Toda recta paralela a un lado de un triángulo forma con los otros dos lados (o con sus prolongaciones) otro triángulo que es semejante al triángulo dado. Si DE║AB entonces D DCE ~ DABC
Criterios de semejanza
Teorema 1: Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales entonces son semejantes.(a.a)
Teorema 2: Si dos triángulos tienen lados respectivamente proporcionales e iguales el ángulo comprendido entre dichos lados, entonces estos triángulos son semejantes.(p.a.p.)
Teorema 3: Si dos triángulos tienen sus lados respectivamente proporcionales, entonces son semejantes.(p.p.p)
Nota: Si denominamos k la razón de semejanza entre los lados de los triángulos, entonces se cumple que:
- La razón entre sus perímetros es también k.
- La razón entre sus áreas es k 2 .
Nota: la definición dada de un triángulo semejante se puede generalizar para el caso de polígonos de n lados por lo que:
Definición:Dos polígonos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados homólogos son proporcionales. Y para ello se cumplen los mismos casos respecto a la razón entre sus lados, perímetros y áreas que las vistas para triángulos.
Igualdad de triángulos
Definición
Dos triángulos son iguales si tienen sus ángulos y sus lados respectivamente iguales.
Nota: En la práctica para demostrar que dos triángulos son iguales puede utilizarse los Criterios de Igualdad que aparecen a continuación.
Criterios de Igualdad
Teorema: Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales e igual el ángulo comprendido entre dichos lados, entonces los triángulos son iguales. ( l.a.l ).
Teorema: Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales e igual el lado comprendido entre dichos ángulos, entonces los triángulos son iguales ( a.l.a).
Teorema: Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente iguales, entonces los triángulos son iguales ( l.l.l ).
Teorema: Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales e igual el ángulo que se le opone al mayor de los lados, entonces los triángulos son iguales (L.l.a ).
Proposición:
Si dos triángulos son iguales, entonces son semejantes y la razón de proporcionalidad es 1. ( y viceversa ).
Fuente
Libro de texto 12 grado Matemática
