Semejanza de Triángulos
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Semejanza de Triángulos. Con el fin de llegar a comprender su significado y aplicarlo en la solución de problemas, en esta sección se analizará su concepto. En la práctica, para demostrar que dos triángulos son semejantes, puede utilizarse el teorema fundamental de la semejanza o los criterios que aparecen a continuación.
Sumario
Concepto de semejanza en la vida cotidiana
Cuando se utiliza el término de semejanza en el lenguaje cotidiano, ¿a qué nos estamos refiriendo? Puede ser a:
- Un objeto que se parece a otro.
- Objetos de igual tamaño.
- Objetos de igual forma.
- Objetos exactamente iguales...
Es difícil poder seleccionar una opción que responda correctamente a la pregunta planteada, de acuerdo al contexto de la conversación, el significado y utilización de la palabra semejanza, podría hacer referencia a objetos que se parecen en tamaño, forma o exactamente iguales, entre otros. Resumiendo: el uso del concepto de semejanza en el lenguaje cotidiano se refiera al "parecido", en una o más características, que existen entre dos personas u objetos.
Concepto de semejanza en matemática
El concepto de semejanza en matemática está muy ligado al concepto de proporcionalidad. En esta ciencia se dice que dos objetos son semejantes si "guardan" una proporción entre ellos. Resumiendo: dos figuras son semejantes si guardan una proporción entre cada una de sus partes respectivas.
Teorema fundamental de la semejanza
Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo forma, con la prolongación de los otros dos lados otro triángulo que es semejante al triángulo dado.
Criterios de semejanza
Teorema 1: Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales entonces son semejantes.(a.a)
Teorema 2: Si dos triángulos tienen lados respectivamente proporcionales e iguales el ángulo comprendido entre dichos lados, entonces estos triángulos son semejantes.(p.a.p.)
Teorema 3: Si dos triángulos tienen sus lados respectivamente proporcionales, entonces son semejantes.(p.p.p)
Nota: Si denominamos k la razón de semejanza entre los lados de los triángulos, entonces se cumple que:
- La razón entre sus perímetros es también k.
- La razón entre sus áreas es k 2 .
Nota: la definición dada de un triángulo semejante se puede generalizar para el caso de polígonos de n lados por lo que:
Definición:Dos polígonos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados homólogos son proporcionales. Y para ello se cumplen los mismos casos respecto a la razón entre sus lados, perímetros y áreas que las vistas para triángulos.
Igualdad de triángulos
Definición
Dos triángulos son iguales si tienen sus ángulos y sus lados respectivamente iguales.
Nota: En la práctica para demostrar que dos triángulos son iguales puede utilizarse los Criterios de Igualdad que aparecen a continuación.
Criterios de Igualdad
Teorema: Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales e igual el ángulo comprendido entre dichos lados, entonces los triángulos son iguales. ( l.a.l ).
Teorema: Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales e igual el lado comprendido entre dichos ángulos, entonces los triángulos son iguales ( a.l.a).
Teorema: Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente iguales, entonces los triángulos son iguales ( l.l.l ).
Teorema: Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales e igual el ángulo que se le opone al mayor de los lados, entonces los triángulos son iguales (L.l.a ).
Proposición:
Si dos triángulos son iguales, entonces son semejantes y la razón de proporcionalidad es 1. ( y viceversa ).
Fuente
- Libro de texto 12 grado Matemática
- Libro de texto de Matemática 9no grado. Editorial Pueblo y Educación, 1991.
- http://www.cidse.itcr.ac.cr/ revistamate/GeometriaInteractiva
