Teoría de conjuntos
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Teoría de conjuntos. Es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.
En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor:
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento. Georg Cantor
Noción de conjunto.
Para estudiar la teoría de conjuntos, hay que partir de establecer qué es un conjunto. Al mencionar esta palabra vienen a la mente ideas como el conjunto de los números reales (R), un conjunto de personas, un conjunto musical o el conjunto de las letras del alfabeto, y es que, en efecto, todos estos son conjuntos.
Aunque se plantea que no es posible definir formalmente el concepto de conjunto, este puede describirse como una agrupación o colección de objetos, lo que lleva inevitablemente a establecer qué es un objeto.
Un objeto o elemento, en la teoría de conjuntos es cualquier cosa, puede ser algo físico, como una PC, puede ser también una abstracción como un programa y puede ser incluso un conjunto. Es importante notar que entre los objetos que forman un conjunto no tiene que haber ninguna característica en común, excepto el propio hecho de pertenecer al conjunto. Así se encuentran conjunto homogéneos como el de las impresoras o el de los componentes de Hard, pero existen conjuntos tan heterogéneos como se quiera, por ejemplo un conjunto formado por un una mesa, una persona y una PC.
Hay que aclarar que un conjunto no es una agrupación física de objetos, sino una abstracción que puede corresponderse con agrupaciones físicas, pero también con agrupaciones que sólo existen como idea, tal es el caso del conjunto de trabajos presentados en los eventos de Infoclub, cada una ocurrió en un momento y lugar distinto.
Convencionalmente, los conjuntos suelen nombrarse con letras mayúsculas del alfabeto latino (A, B, C…), mientras los objetos que los forman se representan con letras minúsculas del mismo alfabeto.
De los objetos que forman un conjunto se dice que son elementos del mismo o que pertenecen a él. la siguiente expresión corresponde a la representación Si a es un elemento del conjunto A, entoces se dice que a pertenece a A
Existen conjuntos muy utilizados como R, N, Z, para los que es fácil identificar sus elementos, pero en general no es así, por lo que es útil contar con un modo de representación de los conjuntos que deje explícito cuáles son los objetos que los forman. Hay dos maneras básicas de definir y representar un conjunto a través de los elementos que lo componen,la representación extensional y la representación intensional.
La representación extensional de un conjunto no es más que la enumeración de todos sus elementos, separados por comas y encerrados entre llaves, los siguientes ejemplos constituyen representaciones extensionales de cuatro conjuntos de tres elementos cada uno y un quinto de cuatro elementos:
1.{mause, Teclado, Spiker}
2.{a, f, g}
3.{1,2,3}
4.{Rojo, Azul, Verde}
5.{1, f, Maus, Rojo}
La representación intensional, se basa en expresar mediante una fórmula matemática, una propiedad que describa a todos los elementos del conjunto y que ningún elemento ajeno al conjunto la cumpla. Esta es una manera mucho más compacta de representar conjuntos de gran cantidad de elementos e incluso de infinitos elementos, pero tiene como limitación que no siempre existe tal fórmula y en muchos casos, aún existiendo, es muy difícil encontrarla. A continuación aparecen algunos ejemplos de conjuntos y sus representaciones intencionales.
1.La representación intensional del conjunto de todos los números reales del intervalo [3..5] es {x | x pertenece a R, x mayor o igual a 3 y x menor o igual a 5}.
Su representación extensional sería: {3,4,5}
2.La representación intensional del conjunto de todos los números naturales múltiplos de 3 es {x | x pertenece a N, x = 3k, k pertenece a N }
3.{x | 6x7 + 3x2 + 5 = 0} es la representación intensional del conjunto de soluciones de la ecuación 6x7 + 3x2 + 5 = 0
4.{x | x pertenece a R, | x > 5 } es la representación intensional del conjunto de números reales que no pertenecen al intervalo [-5..5]
Importante es notar que, para un mismo conjunto, puede haber más de una representación intensional, como ilustra el siguiente ejemplo:
{x | x pertenece a R, x > -2, x < 4} y {x | x pertenece a R, | x – 1 | < 3 } son representaciones intencionales del conjunto de números reales del intervalo [-2..4]
Inclusión e igualdad entre conjuntos.
Entre los conjuntos se establecen dos relaciones fundamentales, la inclusión y la igualdad, la primera expresa que todos los elementos de un conjunto se encuentren en otro, mientras la segunda plantea que dos conjuntos están formados por los mismos elementos. A continuación se formalizarán y ejemplificarán estas relaciones.
Definición. Sean A y B dos conjuntos, se dice que A está incluido en B, o que A es subconjunto de B si y sólo si todos los elementos de A son también elementos de B.
Obsérvense los siguientes ejemplos de inclusión entre conjuntos:
1.{ maus, Teclado, Spiker } subconjunto { maus, Teclado, Spiker, 4}
2.{ maus, Teclado, Spiker } subconjunto { Teclado, maus, Spiker }
Este par de ejemplos evidencia que si A subconjunto B, en B pueden o no, haber elementos que no pertenecen al conjunto A, por otro lado, de la definición de inclusión queda claro que en A no pueden haber elementos que no pertenezcan a B.
Los siguientes son también ejemplos de inclusión entre conjuntos:
1.El conjunto de trabajadores del JCCE Camaguey 5 es un subconjunto del conjunto de trabajadores de los JCCE de Camagüey.
2.El conjunto de adiestrados de informática en los Jóvenes Club del Municipio Camaguey es un subconjunto del conjunto de adiestrados del Municipio, pero no es subconjunto del conjunto de habitantes del municipio de Camaguey pues entre los estudiantes mencionados hay algunos que habitan en otros municipios.
3.El conjunto de los programas de diseños que se imparten en los Jóvenes Club es un subconjunto del conjunto de los programas de Soft que se imparten en este movimiento.
4.El conjunto de los ingenieros informáticos es un subconjunto del conjunto de todos los ingenieros, que a su vez es subconjunto del conjunto de graduados universitarios.
A partir de la inclusión entre conjuntos se define la igualdad de la siguiente manera:
Definición. Sean A y B conjuntos, A es igual a B (A = B) si y sólo si A subconjunto B y B subconjunto A.
Se evidencia que si A es subconjunto de B, todos los elementos de A, son elementos de B, mientras que como B es subconjunto de A, no existen en B elementos que no pertenezcan al conjunto A, de lo que se desprende que los elementos de A y B son exactamente los mismos. A continuación se ejemplifica la igualdad entre conjuntos.
1.{1, 2, 3} = {1, 2, 3}
2.{1, 2, 3} = {2, 3, 1}
3.{1, 2, 3} = {2, 1, 3}
4.{1, 2, 3} = {1, 2, 1, 3}
De la definición de igualdad entre conjuntos se desprende que el orden de los elementos de un conjunto no tiene ninguna importancia, es más, en los conjuntos los elementos no tienen orden, aunque al representarlos extensionalmente sea inevitable enumerarlos ordenados de alguna manera. Otra consecuencia lógica de la definición de igualdad entre conjuntos es que no tiene sentido que existan elementos repetidos en la representación de un conjunto, lo que se evidencia mediante el caso 4 del ejemplo anterior, no puede decirse que el segundo conjunto tiene cuatro elementos, porque sólo está compuesto por los elementos 1, 2 y 3.
Cuando un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B pero estos no son iguales, entonces se dice que A es subconjunto propio de B.
Los siguientes, son ejemplos de la relación anterior:
1.{1, 2, 3} subconjunto propio de {1, 3, 2, 4}
2.{1, 2} subconjunto propio de {2, 8, 4, 10, 1}
